$\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ の両辺を2乗します。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$

$\sin^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ なので、

$1 - 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}$

$2\sin \theta \cos \theta = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$

次に、$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$ の値を求めます。因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を利用します。

$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = (\sin \theta - \cos \theta)(\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = (\sin \theta - \cos \theta)(1 + \sin \theta \cos \theta)$

$\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$ を代入します。

$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 + \frac{1}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{4\sqrt{2}}$

分母を有理化すると、$\frac{5}{4\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4\cdot 2} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$

$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = \frac{5\sqrt{2}}{8}$