$\int_1^2 (\log x)^3 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_1^2 (\log x)^3 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、部分積分を繰り返し使用します。

まず、$u = (\log x)^3$ および $dv = dx$ と置きます。

すると、$du = 3 (\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} dx$ および $v = x$ となります。

したがって、

$$\int (\log x)^3 dx = x(\log x)^3 - \int x \cdot 3 (\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} dx = x(\log x)^3 - 3 \int (\log x)^2 dx$$

次に、$\int (\log x)^2 dx$ を計算します。

$u = (\log x)^2$ および $dv = dx$ と置きます。

すると、$du = 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$ および $v = x$ となります。

したがって、

$$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - \int x \cdot 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x} dx = x(\log x)^2 - 2 \int \log x dx$$

次に、$\int \log x dx$ を計算します。

$u = \log x$ および $dv = dx$ と置きます。

すると、$du = \frac{1}{x} dx$ および $v = x$ となります。

したがって、

$$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x$$

これらをまとめると、

$$\int (\log x)^3 dx = x(\log x)^3 - 3 \int (\log x)^2 dx = x(\log x)^3 - 3 [x(\log x)^2 - 2 \int \log x dx]$$

$$= x(\log x)^3 - 3x(\log x)^2 + 6 \int \log x dx = x(\log x)^3 - 3x(\log x)^2 + 6(x \log x - x)$$

$$= x(\log x)^3 - 3x(\log x)^2 + 6x \log x - 6x$$

したがって、

$$\int_1^2 (\log x)^3 dx = [x(\log x)^3 - 3x(\log x)^2 + 6x \log x - 6x]_1^2$$

$$= [2(\log 2)^3 - 6(\log 2)^2 + 12 \log 2 - 12] - [1(\log 1)^3 - 3(\log 1)^2 + 6 \log 1 - 6]$$

$= 2(\log 2)^3 - 6(\log 2)^2 + 12 \log 2 - 12 - (0 - 0 + 0 - 6)$

$= 2(\log 2)^3 - 6(\log 2)^2 + 12 \log 2 - 6$

3. 最終的な答え

$2(\log 2)^3 - 6(\log 2)^2 + 12\log 2 - 6$