$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、不等式 $\sin x - \sqrt{3}\cos x \ge 0$ を解け。

1. 問題の内容

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、不等式 $\sin x - \sqrt{3}\cos x \ge 0$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$\sin x - \sqrt{3}\cos x \ge 0$

両辺を2で割ると

$\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x \ge 0$

三角関数の合成を行います。

$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\sin x \cos \frac{\pi}{6} - \cos x \sin \frac{\pi}{6} \ge 0$

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) \ge 0$

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ なので、

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} < x - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}$

$-\frac{2\pi}{3} < x - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3}$

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) \ge 0$となる範囲は、

$0 \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3}$

$0 + \frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6} \le x < \frac{\pi}{2}$