問題は、多変数関数の勾配、方向微分、および関連する計算を求めるものです。具体的には、以下の3つのパートに分かれています。 (1) 関数 $f(x, y, z) = x^2 + 3xy + 2y^2 + z^2$ に関して、 (a) 点 (1, 0, 1) における勾配 $\nabla f(1, 0, 1)$ を求める。 (b) 方向ベクトル (1, 2, 3) を持つ直線 $e$ に沿った方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1)$ を求める。 (c) 点 (1, 0, 1) において方向微分が最大になる方向の単位ベクトル $l$ とその方向微分係数を求める。 (2) 関数 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ に関して、x軸との角度が$\varphi$ である方向 $l$ の方向微分係数を求める。 (3) 関数 $f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2}$ に関して、 (a) 勾配 $\text{grad} \frac{1}{x^2 + y^2}$ を求める。 (b) $\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = 0$ となる方向 $l$ を求める。ただし、$(a, b) \neq (0, 0)$ とする。

1. 問題の内容

問題は、多変数関数の勾配、方向微分、および関連する計算を求めるものです。具体的には、以下の3つのパートに分かれています。

(1) 関数 $f(x, y, z) = x^2 + 3xy + 2y^2 + z^2$ に関して、

(a) 点 (1, 0, 1) における勾配 $\nabla f(1, 0, 1)$ を求める。

(b) 方向ベクトル (1, 2, 3) を持つ直線 $e$ に沿った方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1)$ を求める。

(c) 点 (1, 0, 1) において方向微分が最大になる方向の単位ベクトル $l$ とその方向微分係数を求める。

(2) 関数 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ に関して、x軸との角度が$\varphi$ である方向 $l$ の方向微分係数を求める。

(3) 関数 $f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2}$ に関して、

(a) 勾配 $\text{grad} \frac{1}{x^2 + y^2}$ を求める。

(b) $\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = 0$ となる方向 $l$ を求める。ただし、$(a, b) \neq (0, 0)$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

(a) 勾配 $\nabla f$ は、各変数に関する偏微分のベクトルです。

$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 4y$

$\frac{\partial f}{\partial z} = 2z$

よって、$\nabla f = (2x + 3y, 3x + 4y, 2z)$。点(1, 0, 1)における勾配は $\nabla f(1, 0, 1) = (2(1) + 3(0), 3(1) + 4(0), 2(1)) = (2, 3, 2)$。

(b) 方向 $e$ の単位ベクトル $\hat{e}$ は $\frac{(1, 2, 3)}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{(1, 2, 3)}{\sqrt{14}}$。

方向微分は $\frac{\partial f}{\partial e} = \nabla f \cdot \hat{e}$。点(1, 0, 1)において、$\nabla f(1, 0, 1) = (2, 3, 2)$ なので、

$\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1) = (2, 3, 2) \cdot \frac{(1, 2, 3)}{\sqrt{14}} = \frac{2(1) + 3(2) + 2(3)}{\sqrt{14}} = \frac{2 + 6 + 6}{\sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$。

(c) 方向微分が最大になる方向は勾配 $\nabla f$ の方向です。その方向の単位ベクトルは $\frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}$。

$\nabla f(1, 0, 1) = (2, 3, 2)$。$\|\nabla f(1, 0, 1)\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$。

よって、単位ベクトル $l = \frac{(2, 3, 2)}{\sqrt{17}}$。

最大となる方向微分係数は $\|\nabla f(1, 0, 1)\| = \sqrt{17}$。

(2) $r = \sqrt{x^2 + y^2}$。方向 $l$ の単位ベクトルは $(\cos \varphi, \sin \varphi)$。

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$、$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$。

$\nabla r = \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right)$。

方向微分 $\frac{\partial r}{\partial l} = \nabla r \cdot (\cos \varphi, \sin \varphi) = \frac{x \cos \varphi + y \sin \varphi}{\sqrt{x^2 + y^2}}$。

(3)

(a) $f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2}$。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{-2x}{(x^2 + y^2)^2}$、$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-2y}{(x^2 + y^2)^2}$。

$\text{grad} \frac{1}{x^2 + y^2} = \left( \frac{-2x}{(x^2 + y^2)^2}, \frac{-2y}{(x^2 + y^2)^2} \right)$。

(b) 方向ベクトル $l = (\cos \theta, \sin \theta)$ とする。

$\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = \nabla f(a, b) \cdot (\cos \theta, \sin \theta) = 0$。

$\nabla f(a, b) = \left( \frac{-2a}{(a^2 + b^2)^2}, \frac{-2b}{(a^2 + b^2)^2} \right)$。

$\frac{-2a \cos \theta - 2b \sin \theta}{(a^2 + b^2)^2} = 0$。

$a \cos \theta + b \sin \theta = 0$。

$\tan \theta = -\frac{a}{b}$。

よって、方向 $l$ は $\tan^{-1}(-\frac{a}{b})$ をなす。

3. 最終的な答え

(1)

(a) $\nabla f(1, 0, 1) = (2, 3, 2)$

(b) $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1) = \sqrt{14}$

(c) $l = \frac{(2, 3, 2)}{\sqrt{17}}$, 方向微分係数 = $\sqrt{17}$

(2) $\frac{\partial r}{\partial l} = \frac{x \cos \varphi + y \sin \varphi}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

(3)

(a) $\text{grad} \frac{1}{x^2 + y^2} = \left( \frac{-2x}{(x^2 + y^2)^2}, \frac{-2y}{(x^2 + y^2)^2} \right)$

(b) $\tan^{-1}(-\frac{a}{b})$