点P(x, y)が $x = \cos t$, $y = \sin^2 t$, $-\pi \le t \le \pi$ を満たすとき、点Pが動く道のり $l$ と、Pが動いてできる曲線の長さ $L$ を、$a = \int_0^1 \sqrt{1+4x^2} \, dx$ を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

点P(x, y)が $x = \cos t$, $y = \sin^2 t$, $-\pi \le t \le \pi$ を満たすとき、点Pが動く道のり $l$ と、Pが動いてできる曲線の長さ $L$ を、$a = \int_0^1 \sqrt{1+4x^2} \, dx$ を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$x = \cos t$ より、$\frac{dx}{dt} = -\sin t$

$y = \sin^2 t$ より、$\frac{dy}{dt} = 2\sin t \cos t$

次に、$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$ を計算します。

$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{(-\sin t)^2 + (2\sin t \cos t)^2} = \sqrt{\sin^2 t + 4\sin^2 t \cos^2 t} = \sqrt{\sin^2 t(1 + 4\cos^2 t)} = |\sin t|\sqrt{1+4\cos^2 t}$

求める道のり $L$ は、$\int_{-\pi}^{\pi} |\sin t|\sqrt{1+4\cos^2 t} \, dt$ です。

被積分関数は偶関数なので、

$L = 2\int_0^{\pi} \sin t \sqrt{1+4\cos^2 t} \, dt$ となります。

ここで、$x = \cos t$ と置換すると、$dx = -\sin t \, dt$ です。

$t=0$ のとき、$x=1$ であり、$t=\pi$ のとき、$x=-1$ です。

したがって、

$L = 2\int_{1}^{-1} \sqrt{1+4x^2} (-dx) = 2\int_{-1}^{1} \sqrt{1+4x^2} \, dx$

被積分関数は偶関数なので、

$L = 4\int_{0}^{1} \sqrt{1+4x^2} \, dx$

問題で与えられた $a = \int_0^1 \sqrt{1+4x^2} \, dx$ を用いると、$L = 4a$ となります。

3. 最終的な答え

$L = 4a$