与えられた定積分を計算します。問題は次の通りです。 $8\sqrt{3} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。問題は次の通りです。

$8\sqrt{3} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$

2. 解き方の手順

$\sqrt{1-x^2}$ の積分は、$x = \sin\theta$ と置換することで計算できます。

このとき、$dx = \cos\theta \, d\theta$ となり、積分範囲も変わります。

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{3}$ となります。

$x = 1$ のとき、$\sin\theta = 1$ なので、$\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$8\sqrt{3} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2\theta} \cos\theta \, d\theta$

$\sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\cos^2\theta} = \cos\theta$ より、

$8\sqrt{3} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ を用いると、

$8\sqrt{3} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \, d\theta = 4\sqrt{3} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos(2\theta)) \, d\theta$

$4\sqrt{3} [\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$

$4\sqrt{3} [(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)) - (\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{3}))]$

$4\sqrt{3} [(\frac{\pi}{2} + 0) - (\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})]$

$4\sqrt{3} [\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}]$

$4\sqrt{3} [\frac{3\pi - 2\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}]$

$4\sqrt{3} [\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}]$

$\frac{4\sqrt{3}\pi}{6} - \frac{4\sqrt{3}\sqrt{3}}{4}$

$\frac{2\sqrt{3}\pi}{3} - 3$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3}\pi}{3} - 3$