定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \, dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \, dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\sin^4 x$ を次数下げの公式を用いて変形し、積分を計算します。

まず、半角の公式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ を用います。

$\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$

次に、$\cos^2(2x)$ に対して再度半角の公式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ を用います。

$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$

したがって、

$\sin^4 x = \frac{1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}}{4} = \frac{2 - 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{8} = \frac{3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8} \, dx = \frac{1}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) \, dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) \, dx = \left[3x - 2\sin(2x) + \frac{1}{4}\sin(4x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(3\cdot\frac{\pi}{2} - 2\sin(\pi) + \frac{1}{4}\sin(2\pi)\right) - \left(0 - 2\sin(0) + \frac{1}{4}\sin(0)\right) = \frac{3\pi}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \, dx = \frac{1}{8} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\pi}{16}$