関数 $f(x,y)$ が与えられています。 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ 方向ベクトル $l_\theta = (\cos \theta, \sin \theta)$ および $l_\phi = (\cos \phi, \sin \phi)$ を持つ直線に対する方向微分 $g_1(x,y;\theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x,y)$ と $g_2(x,y;\theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x,y;\theta)$ が定義されています。 (1) $g_1(0,0;\theta)$ を求める。 (2) $g_2(0,0;0,\pi/2)$ と $g_2(0,0;\pi/2,0)$ を求める。 (3) $g_2(0,0;\pi/4, \pi/4)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ が与えられています。

$f(x,y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

方向ベクトル $l_\theta = (\cos \theta, \sin \theta)$ および $l_\phi = (\cos \phi, \sin \phi)$ を持つ直線に対する方向微分 $g_1(x,y;\theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x,y)$ と $g_2(x,y;\theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x,y;\theta)$ が定義されています。

(1) $g_1(0,0;\theta)$ を求める。

(2) $g_2(0,0;0,\pi/2)$ と $g_2(0,0;\pi/2,0)$ を求める。

(3) $g_2(0,0;\pi/4, \pi/4)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x,y)$ が $(0,0)$ で微分可能であることを利用して、$g_1(0,0;\theta)$ を求めます。 方向微分の定義から、

$g_1(0,0;\theta) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h\cos \theta, 0 + h\sin \theta) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h\cos \theta, h\sin \theta)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2h^3 \cos^3 \theta h \sin \theta - 3h \cos \theta h^3 \sin^3 \theta}{h^2 \cos^2 \theta + h^2 \sin^2 \theta} + h \cos \theta h^3 \sin^3 \theta}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2h^4 \cos^3 \theta \sin \theta - 3h^4 \cos \theta \sin^3 \theta + h^4 \cos \theta \sin^3 \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}{h^3}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{2h^4 \cos^3 \theta \sin \theta - 2h^4 \cos \theta \sin^3 \theta}{h^3} = \lim_{h \to 0} h (2 \cos^3 \theta \sin \theta - 2 \cos \theta \sin^3 \theta) = 0$

よって、$g_1(0,0;\theta) = 0$

(2) $g_2(x,y;\theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x,y;\theta)$ であり、$g_1(0,0;\theta) = 0$ より、

$g_2(0,0;\theta, \phi) = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(0 + h\cos \phi, 0 + h\sin \phi; \theta) - g_1(0,0;\theta)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(h\cos \phi, h\sin \phi; \theta) - 0}{h}$

$g_1(x,y;\theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \sin \theta$.

まず $f_x$ と $f_y$ を計算します。

$f_x = \frac{(6x^2y-3y^3+y^3)(x^2+y^2)-(2x^3y-3xy^3+xy^5)(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{4x^4y+9x^2y^3-6x^2y^3+3xy^5}{(x^2+y^2)^2}$

$f_y = \frac{(2x^3-9xy^2+5xy^4)(x^2+y^2)-(2x^3y-3xy^3+xy^5)(2y)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2x^5-7x^3y^2-7xy^4}{(x^2+y^2)^2}$

なので $g_1(x,y;\theta) = f_x \cos \theta + f_y \sin \theta$ となります。

しかし、$g_2(0,0;\theta, \phi) = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(h\cos \phi, h\sin \phi; \theta)}{h}$ を計算するとき、

$f_x(0,0) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{0}{h} = 0$

$f_y(0,0) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{0}{h} = 0$

よって $g_1(0,0;\theta)=0$.

$g_2(0,0;0,\pi/2) = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(0,h;0) - 0}{h}$

$g_1(x,y;\theta) = f_x cos \theta + f_y sin \theta$ を $f_x(0,h) cos(0) + f_y(0,h) sin(0) = \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} = \frac{0}{h} =0$

$g_2(0,0;0,\pi/2) = 0$

$g_2(0,0;\pi/2,0) = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(h,0;\pi/2)}{h} = 0$

$f(h,0)=0, f(0,h)=0$ なので $g_1(h,0;\pi/2) = f_x cos \pi/2 + f_y sin \pi/2 =f_y=0$.

よって　$g_2(0,0;\pi/2,0)=0$

(3) $g_2(0,0;\pi/4,\pi/4) = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(h \cos(\pi/4), h \sin(\pi/4); \pi/4)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(h/\sqrt{2}, h/\sqrt{2}; \pi/4)}{h}$

$g_1 = f_x cos \theta + f_y sin \theta$.

$x = h/\sqrt{2}, y= h/\sqrt{2}, \theta = \pi/4$とします.

$f_x = \frac{4(\frac{h}{\sqrt{2}})^4 \frac{h}{\sqrt{2}}+9 (\frac{h}{\sqrt{2}})^2 (\frac{h}{\sqrt{2}})^3-6 (\frac{h}{\sqrt{2}})^2 (\frac{h}{\sqrt{2}})^3+3\frac{h}{\sqrt{2}} (\frac{h}{\sqrt{2}})^5}{((\frac{h}{\sqrt{2}})^2+(\frac{h}{\sqrt{2}})^2)^2}$

$f_x = \frac{ (\frac{4h^5}{4\sqrt{2}} + \frac{9h^5}{4\sqrt{2}}-\frac{6h^5}{4\sqrt{2}}+ \frac{3h^6}{4\sqrt{2}})}{h^4}=\frac{\frac{7}{4\sqrt{2}} h^5}{h^4}=\frac{7h}{4\sqrt{2}}$

$f_y = \frac{2x^5-7x^3y^2-7xy^4}{(x^2+y^2)^2}$

$f_y= \frac{\frac{2h^5}{4\sqrt{2}}- \frac{7h^5}{4\sqrt{2}}-\frac{7h^5}{4\sqrt{2}}}{h^4}=\frac{\frac{-12h^5}{4\sqrt{2}}}{h^4}=-\frac{3h}{\sqrt{2}}$

$g_1= (\frac{7h}{4\sqrt{2}}) (\frac{1}{\sqrt{2}})+ (-\frac{3h}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{7h}{8}-\frac{3h}{2} =\frac{7h}{8}-\frac{12h}{8}=-\frac{5h}{8}$.

$g_2 = \lim_{h->0}\frac{-\frac{5h}{8}}{h}= -\frac{5}{8}$.

3. 最終的な答え

(1) $g_1(0,0;\theta) = 0$

(2) $g_2(0,0;0,\pi/2) = 0$, $g_2(0,0;\pi/2,0) = 0$

(3) $g_2(0,0;\pi/4,\pi/4) = -\frac{5}{8}$