点Pの座標 $(x, y)$ が $x = \cos t$, $y = \sin^2 t$, $-\pi \le t \le \pi$ で表されるとき、点Pが動く道のり $L$ を、$a = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} dx$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

点Pの座標 $(x, y)$ が $x = \cos t$, $y = \sin^2 t$, $-\pi \le t \le \pi$ で表されるとき、点Pが動く道のり $L$ を、$a = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} dx$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$x = \cos t$, $y = \sin^2 t$ から $\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を求めます。

$\frac{dx}{dt} = -\sin t$

$\frac{dy}{dt} = 2 \sin t \cos t$

曲線の長さ $L$ は次の式で与えられます。

$L = \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$

上記の式に $\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を代入します。

$L = \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{(-\sin t)^2 + (2 \sin t \cos t)^2} dt$

$L = \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{\sin^2 t + 4 \sin^2 t \cos^2 t} dt$

$L = \int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{\sin^2 t (1 + 4 \cos^2 t)} dt$

$L = \int_{-\pi}^{\pi} |\sin t| \sqrt{1 + 4 \cos^2 t} dt$

$-\pi \le t \le \pi$ の範囲で、積分範囲を $0 \le t \le \pi$ に変更し、積分の値を2倍にします。

$L = 2 \int_{0}^{\pi} \sin t \sqrt{1 + 4 \cos^2 t} dt$

ここで、置換積分を行います。$u = \cos t$ とおくと、$du = -\sin t dt$ です。

また、$t=0$ のとき $u = 1$、$t=\pi$ のとき $u = -1$ となります。

$L = 2 \int_{1}^{-1} \sqrt{1 + 4 u^2} (-du)$

$L = 2 \int_{-1}^{1} \sqrt{1 + 4 u^2} du$

さらに、被積分関数は偶関数であるため、積分範囲を $0 \le u \le 1$ に変更し、積分の値を2倍にします。

$L = 4 \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4 u^2} du$

与えられた積分 $a = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} dx$ を用いると、

$L = 4a$

3. 最終的な答え

$L = 4a$