与えられた数列の和を求めます。数列は以下の通りです。 $\frac{1}{1 \cdot 7} + \frac{1}{4 \cdot 10} + \frac{1}{7 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+4)}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求めます。数列は以下の通りです。

$\frac{1}{1 \cdot 7} + \frac{1}{4 \cdot 10} + \frac{1}{7 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+4)}$

2. 解き方の手順

この数列は部分分数分解を使って解くことができます。一般項 $\frac{1}{(3k-2)(3k+4)}$ を部分分数に分解します。

$\frac{1}{(3k-2)(3k+4)} = \frac{A}{3k-2} + \frac{B}{3k+4}$

両辺に $(3k-2)(3k+4)$ を掛けると

$1 = A(3k+4) + B(3k-2)$

$k = \frac{2}{3}$ を代入すると

$1 = A(3 \cdot \frac{2}{3} + 4) + B(0) = 6A$

$A = \frac{1}{6}$

$k = -\frac{4}{3}$ を代入すると

$1 = A(0) + B(3 \cdot (-\frac{4}{3}) - 2) = -6B$

$B = -\frac{1}{6}$

よって、$\frac{1}{(3k-2)(3k+4)} = \frac{1}{6} \left(\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+4}\right)$

与えられた数列の和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+4)} = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+4}\right)$

$=\frac{1}{6} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{10}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{13}\right) + \dots + \left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+4}\right) \right]$

この和は望遠鏡和(telescoping sum)になるので、多くの項が打ち消し合います。

$\frac{1}{6} \left( 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{3n+1} - \frac{1}{3n+4} \right)$

$=\frac{1}{6} \left( \frac{5}{4} - \frac{1}{3n+1} - \frac{1}{3n+4} \right)$

$=\frac{1}{6} \left( \frac{5}{4} - \frac{3n+4 + 3n+1}{(3n+1)(3n+4)} \right)$

$=\frac{1}{6} \left( \frac{5}{4} - \frac{6n+5}{(3n+1)(3n+4)} \right)$

$=\frac{1}{6} \left( \frac{5(3n+1)(3n+4) - 4(6n+5)}{4(3n+1)(3n+4)} \right)$

$=\frac{1}{6} \left( \frac{5(9n^2+15n+4) - 24n-20}{4(3n+1)(3n+4)} \right)$

$=\frac{1}{6} \left( \frac{45n^2+75n+20 - 24n - 20}{4(3n+1)(3n+4)} \right)$

$=\frac{1}{6} \left( \frac{45n^2+51n}{4(3n+1)(3n+4)} \right)$

$=\frac{1}{6} \left( \frac{3n(15n+17)}{4(3n+1)(3n+4)} \right)$

$=\frac{n(15n+17)}{8(3n+1)(3n+4)}$

$=\frac{n(15n+17)}{8(9n^2 + 15n + 4)}$

$=\frac{15n^2+17n}{72n^2+120n+32}$

3. 最終的な答え

$\frac{15n^2+17n}{72n^2+120n+32}$

または

$\frac{n(15n+17)}{8(3n+1)(3n+4)}$