与えられた関数が連続である範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数が連続である範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数が連続である範囲は、一般的に、定義域から不連続点を除いた範囲です。不連続点は、分母が0になる点や、根号の中身が負になる点などが考えられます。

(a) $y = x^2$:

多項式関数なので、すべての実数で連続です。

(b) $y = 3^x$:

指数関数なので、すべての実数で連続です。

(c) $y = e^{-x}$:

指数関数なので、すべての実数で連続です。

(d) $y = \log_4 x$:

対数関数なので、真数条件 $x > 0$ を満たす範囲で連続です。

(e) $y = \sqrt[5]{x}$:

5乗根なので、$x$が実数ならば常に定義され、連続です。

(f) $y = \sqrt{x}$:

平方根なので、$x \geq 0$ で連続です。

(g) $y = \frac{1 - x^2}{x^2 + 1}$:

分母は $x^2 + 1$ であり、常に正なので、すべての実数で連続です。

(h) $y = \frac{3x + 2}{x^2 - 3x + 2}$:

分母は $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ なので、$x = 1$ と $x = 2$ で不連続です。したがって、$x < 1$, $1 < x < 2$, $x > 2$ で連続です。

(i) $y = \frac{1 - x^3}{x^4 - 1}$:

分母は $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ なので、$x = 1$ と $x = -1$ で不連続です。したがって、$x < -1$, $-1 < x < 1$, $x > 1$ で連続です。

3. 最終的な答え

(a) すべての実数

(b) すべての実数

(c) すべての実数

(d) $x > 0$

(e) すべての実数

(f) $x \geq 0$

(g) すべての実数

(h) $x < 1$, $1 < x < 2$, $x > 2$

(i) $x < -1$, $-1 < x < 1$, $x > 1$