関数 $f(x, y) = \frac{e^y}{x^2 + y^2}$ の点 $(1, 2)$ における勾配 $\nabla f(1, 2)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{e^y}{x^2 + y^2}$ の点 $(1, 2)$ における勾配 $\nabla f(1, 2)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、勾配 $\nabla f(x, y)$ を計算します。勾配は、偏導関数を成分とするベクトルです。

$\nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

偏導関数を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{e^y}{x^2 + y^2} \right) = e^y \frac{\partial}{\partial x} \left( (x^2 + y^2)^{-1} \right) = e^y (-1) (x^2 + y^2)^{-2} (2x) = -\frac{2xe^y}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{e^y}{x^2 + y^2} \right) = \frac{e^y(x^2 + y^2) - e^y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{e^y(x^2 + y^2 - 2y)}{(x^2 + y^2)^2}$

したがって、

$\nabla f(x, y) = \left( -\frac{2xe^y}{(x^2 + y^2)^2}, \frac{e^y(x^2 + y^2 - 2y)}{(x^2 + y^2)^2} \right)$

次に、点 $(1, 2)$ における勾配 $\nabla f(1, 2)$ を計算します。

$\nabla f(1, 2) = \left( -\frac{2(1)e^2}{(1^2 + 2^2)^2}, \frac{e^2(1^2 + 2^2 - 2(2))}{(1^2 + 2^2)^2} \right)$

$\nabla f(1, 2) = \left( -\frac{2e^2}{(1 + 4)^2}, \frac{e^2(1 + 4 - 4)}{(1 + 4)^2} \right)$

$\nabla f(1, 2) = \left( -\frac{2e^2}{25}, \frac{e^2}{25} \right)$

3. 最終的な答え

$\nabla f(1, 2) = \left( -\frac{2e^2}{25}, \frac{e^2}{25} \right)$