(1) 関数 $f(x,y) = x^4 + xy + y^4$ のラプラシアン $\Delta f$ を求めます。ただし、ラプラシアン $\Delta$ は $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ で定義されます。 (2) 関数 $f(x,y) = e^{2x-y}$ に対して、$\left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(0,0)$ の値を求めます。 (3) 関数 $f(x,y) = \cos(3x+y)$ の2次のMaclaurin展開を求めます。3次の剰余項は $R_3$ と省略しても良いです。

はい、承知しました。問題文を理解し、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x,y) = x^4 + xy + y^4$ のラプラシアン $\Delta f$ を求めます。ただし、ラプラシアン $\Delta$ は $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ で定義されます。

(2) 関数 $f(x,y) = e^{2x-y}$ に対して、$\left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(0,0)$ の値を求めます。

(3) 関数 $f(x,y) = \cos(3x+y)$ の2次のMaclaurin展開を求めます。3次の剰余項は $R_3$ と省略しても良いです。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x,y)$ の $x$ に関する偏微分を2回、 $y$ に関する偏微分を2回計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 + y$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x^2$

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 4y^3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 12y^2$

ラプラシアンはこれらの和なので、

$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 12x^2 + 12y^2$

(2)

まず、$f(x,y)$ の $x$ に関する偏微分と $y$ に関する偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2e^{2x-y}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -e^{2x-y}$

したがって、

$\left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right) f(x,y) = 2(2e^{2x-y}) + 3(-e^{2x-y}) = (4-3)e^{2x-y} = e^{2x-y}$

次に、もう一度 $\left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right)$ を作用させます。

$\left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(x,y) = \left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right)e^{2x-y} = 2(2e^{2x-y}) + 3(-e^{2x-y}) = (4-3)e^{2x-y} = e^{2x-y}$

最後に、$x=0, y=0$ を代入します。

$\left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(0,0) = e^{2(0)-0} = e^0 = 1$

(3)

$f(x,y) = \cos(3x+y)$ のMaclaurin展開を求めます。2次の項まで求めるので、2階までの偏微分を計算します。

$f(0,0) = \cos(0) = 1$

$\frac{\partial f}{\partial x} = -3\sin(3x+y)$, $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -\sin(3x+y)$, $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -9\cos(3x+y)$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0) = -9$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -3\cos(3x+y)$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) = -3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\cos(3x+y)$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,0) = -1$

Maclaurin展開は、

$f(x,y) \approx f(0,0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)x + \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)y + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0)x^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0)xy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,0)y^2\right)$

$= 1 + 0x + 0y + \frac{1}{2}(-9x^2 - 6xy - y^2) = 1 - \frac{9}{2}x^2 - 3xy - \frac{1}{2}y^2$

3. 最終的な答え

(1) $\Delta f = 12x^2 + 12y^2$

(2) $\left(2\frac{\partial}{\partial x} + 3\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(0,0) = 1$

(3) $f(x,y) \approx 1 - \frac{9}{2}x^2 - 3xy - \frac{1}{2}y^2$