関数 $f(x,y)$ が与えられたとき、原点(0,0)における$x$軸とのなす角が$\theta$である方向$\ell$への方向微分係数$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0)$を求めます。ここで、$0 \le \theta < 2\pi$です。 与えられた関数は以下の3つです。 (1) $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ (2) $f(x,y) = xe^{-y}$ (3) $f(x,y) = \sqrt{x^4 + y^2}$

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、各小問について方向微分係数を計算します。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ が与えられたとき、原点(0,0)における$x$軸とのなす角が$\theta$である方向$\ell$への方向微分係数$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0)$を求めます。ここで、$0 \le \theta < 2\pi$です。

与えられた関数は以下の3つです。

(1) $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$

(2) $f(x,y) = xe^{-y}$

(3) $f(x,y) = \sqrt{x^4 + y^2}$

2. 解き方の手順

方向微分係数は、単位ベクトル $\mathbf{u} = (\cos\theta, \sin\theta)$ と勾配 $\nabla f(x,y)$ を用いて、次のように定義されます。

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot \mathbf{u}$

ただし、勾配が存在しない場合や、偏微分が定義できない場合は、方向微分の定義に戻って計算する必要があります。すなわち、

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0 + t\cos\theta, 0 + t\sin\theta) - f(0,0)}{t}$

各小問について、この定義を用いて方向微分を計算します。

(1) $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ の場合

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{|t\cos\theta \cdot t\sin\theta|} - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^2 |\cos\theta \sin\theta|}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{|t| \sqrt{|\cos\theta \sin\theta|}}{t}$

$t > 0$ の場合、$\lim_{t \to +0} \frac{|t| \sqrt{|\cos\theta \sin\theta|}}{t} = \sqrt{|\cos\theta \sin\theta|}$

$t < 0$ の場合、$\lim_{t \to -0} \frac{|t| \sqrt{|\cos\theta \sin\theta|}}{t} = - \sqrt{|\cos\theta \sin\theta|}$

したがって、$\cos\theta \sin\theta = 0$の時のみ、方向微分係数は0。それ以外は、右側極限と左側極限が異なるので方向微分係数は存在しない。

$\cos\theta \sin\theta = 0$となるのは$\theta = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$のときである。

(2) $f(x,y) = xe^{-y}$ の場合

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{t\cos\theta e^{-t\sin\theta} - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \cos\theta e^{-t\sin\theta} = \cos\theta \cdot e^0 = \cos\theta$

(3) $f(x,y) = \sqrt{x^4 + y^2}$ の場合

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{(t\cos\theta)^4 + (t\sin\theta)^2} - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^4\cos^4\theta + t^2\sin^2\theta}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^2(t^2\cos^4\theta + \sin^2\theta)}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{|t|\sqrt{t^2\cos^4\theta + \sin^2\theta}}{t}$

$\sin\theta \neq 0$ のとき、すなわち、$\theta \neq 0, \pi$の時、

$\lim_{t \to +0} \frac{|t|\sqrt{t^2\cos^4\theta + \sin^2\theta}}{t} = \lim_{t \to +0} \sqrt{t^2\cos^4\theta + \sin^2\theta} = \sqrt{\sin^2\theta} = |\sin\theta|$

$\lim_{t \to -0} \frac{|t|\sqrt{t^2\cos^4\theta + \sin^2\theta}}{t} = \lim_{t \to -0} -\sqrt{t^2\cos^4\theta + \sin^2\theta} = -\sqrt{\sin^2\theta} = -|\sin\theta|$

したがって、$\sin\theta=0$となるときのみ方向微分が存在する。

$\theta=0, \pi$のときは$\sin\theta = 0$であり、$t \to 0$のとき、 $\sqrt{t^2\cos^4\theta + \sin^2\theta} = \sqrt{t^2} = 0$ となる。したがって、$\theta = 0, \pi$においては、$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0)=0$となる。

3. 最終的な答え

(1) $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$の場合:

$\theta = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$のとき方向微分係数は0。それ以外の$\theta$では、方向微分係数は存在しない。

(2) $f(x,y) = xe^{-y}$の場合:

$\frac{\partial f}{\partial \ell}(0,0) = \cos\theta$

(3) $f(x,y) = \sqrt{x^4 + y^2}$の場合:

$\theta = 0, \pi$ のとき方向微分係数は0。それ以外の$\theta$では、方向微分係数は存在しない。