(1) $\frac{x^2-2}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$ となる定数 $A, B, C$ を求めよ。 (2) 不定積分 $\int \frac{x^2-2}{x(x-1)^2} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\frac{x^2-2}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$ となる定数 $A, B, C$ を求めよ。

(2) 不定積分 $\int \frac{x^2-2}{x(x-1)^2} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{x^2-2}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$ の両辺に $x(x-1)^2$ を掛けると、

$x^2 - 2 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx$

$x^2 - 2 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - x) + Cx$

$x^2 - 2 = Ax^2 - 2Ax + A + Bx^2 - Bx + Cx$

$x^2 - 2 = (A+B)x^2 + (-2A-B+C)x + A$

両辺の係数を比較すると、

$A+B = 1$

$-2A-B+C = 0$

$A = -2$

$A = -2$ を $A+B = 1$ に代入すると、$-2+B=1$ より $B = 3$。

$A = -2$ と $B = 3$ を $-2A-B+C = 0$ に代入すると、$-2(-2) - 3 + C = 0$ より $4-3+C=0$ なので $C = -1$。

したがって $A = -2$, $B = 3$, $C = -1$。

(2)

(1) の結果より、

$\int \frac{x^2-2}{x(x-1)^2} dx = \int \left( \frac{-2}{x} + \frac{3}{x-1} + \frac{-1}{(x-1)^2} \right) dx$

$= -2 \int \frac{1}{x} dx + 3 \int \frac{1}{x-1} dx - \int \frac{1}{(x-1)^2} dx$

$= -2 \ln|x| + 3 \ln|x-1| - \int (x-1)^{-2} dx$

$= -2 \ln|x| + 3 \ln|x-1| - \frac{(x-1)^{-1}}{-1} + C$

$= -2 \ln|x| + 3 \ln|x-1| + \frac{1}{x-1} + C$

3. 最終的な答え

(1) $A = -2$, $B = 3$, $C = -1$

(2) $\int \frac{x^2-2}{x(x-1)^2} dx = -2 \ln|x| + 3 \ln|x-1| + \frac{1}{x-1} + C$