問題は、0 <= θ < 2π の範囲で、以下の三角関数に関する方程式と不等式を解くことです。 (1) $sin θ + \sqrt{3} cos θ = \sqrt{3}$ (2) $cos 2θ - \sqrt{3} sin 2θ - 1 > 0$

1. 問題の内容

問題は、0 <= θ < 2π の範囲で、以下の三角関数に関する方程式と不等式を解くことです。

(1) $sin θ + \sqrt{3} cos θ = \sqrt{3}$

(2) $cos 2θ - \sqrt{3} sin 2θ - 1 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $sin θ + \sqrt{3} cos θ = \sqrt{3}$ を解きます。

左辺を合成します。$sin θ + \sqrt{3} cos θ = 2sin(θ + \frac{π}{3})$

よって、$2sin(θ + \frac{π}{3}) = \sqrt{3}$

$sin(θ + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$θ + \frac{π}{3} = \frac{π}{3}, \frac{2π}{3}$

$θ = 0, \frac{π}{3}$

(2) $cos 2θ - \sqrt{3} sin 2θ - 1 > 0$ を解きます。

左辺を合成します。$cos 2θ - \sqrt{3} sin 2θ = 2cos(2θ + \frac{π}{3})$

よって、$2cos(2θ + \frac{π}{3}) - 1 > 0$

$cos(2θ + \frac{π}{3}) > \frac{1}{2}$

$-\frac{π}{3} < 2θ + \frac{π}{3} < \frac{π}{3}$ , $2π - \frac{π}{3} < 2θ + \frac{π}{3} < 2π + \frac{π}{3}$

$-\frac{2π}{3} < 2θ < 0$ , $\frac{5π}{3} < 2θ < \frac{7π}{3}$

$-\frac{π}{3} < θ < 0$ , $\frac{5π}{6} < θ < \frac{7π}{6}$

条件 0 <= θ < 2π より

$0 \le θ < 2π$と合わせて考えると

$0 \le θ < 0$とはならないので、$0<0 + 2π$

$0 \le θ < 2π$という条件より、$θ$の範囲は

$0 <= θ < 2π$

範囲を考えると

$0 \le θ < 0$

条件に合うものを考慮すると

$2θ+\frac{π}{3}$の範囲は

$2nπ-\frac{π}{3} < 2θ + \frac{π}{3} < 2nπ + \frac{π}{3}$

$n = 0,1,2...$

なので

$n = 0$の時

$-\frac{2π}{3} < 2θ < 0$

$-\frac{π}{3} < θ < 0$

これは$0 <= θ < 2π$を満たさないので、

$0 \le θ < 2π$より

$0 \le θ < 0$

$2π - \frac{π}{3} < 2θ + \frac{π}{3} < 2π + \frac{π}{3}$

$\frac{5π}{3} < 2θ + \frac{π}{3} < \frac{7π}{3}$

$\frac{4π}{3} < 2θ < 2π$

$\frac{2π}{3} < θ < π$

$4π - \frac{π}{3} < 2θ + \frac{π}{3} < 4π + \frac{π}{3}$

$\frac{11π}{3} < 2θ + \frac{π}{3} < \frac{13π}{3}$

$\frac{10π}{3} < 2θ < 4π$

$\frac{5π}{3} < θ < 2π$

3. 最終的な答え

(1) θ = 0, π/3

(2) 2π/3 < θ < π , 5π/3 < θ < 2π