以下の5つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to\infty} 3^x$ (2) $\lim_{x\to\infty} \log_5 x$ (3) $\lim_{x\to-\infty} \cos \frac{2}{x}$ (4) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{x}$ (5) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$

1. 問題の内容

以下の5つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to\infty} 3^x$

(2) $\lim_{x\to\infty} \log_5 x$

(3) $\lim_{x\to-\infty} \cos \frac{2}{x}$

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{x}$

(5) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$

2. 解き方の手順

(1) $x$ が無限大に近づくとき、$3^x$ も無限大に近づきます。

(2) $x$ が無限大に近づくとき、$\log_5 x$ も無限大に近づきます。

(3) $x$ が負の無限大に近づくとき、$\frac{2}{x}$ は $0$ に近づきます。したがって、

$\lim_{x\to-\infty} \cos \frac{2}{x} = \cos 0 = 1$

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{x}$ は、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4$

(5) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ は、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $\infty$

(3) $1$

(4) $4$

(5) $\frac{2}{5}$