関数 $y = \sqrt{2+x}$ のマクローリン展開の第$n+1$項を求める問題です。与えられた式中の空欄「ア」「イ」「ウ」を埋める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{2+x}$ のマクローリン展開の第$n+1$項を求める問題です。与えられた式中の空欄「ア」「イ」「ウ」を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $f(x) = \sqrt{2+x}$ とします。

マクローリン展開は、関数を$x=0$の周りでテイラー展開したものです。

$f(x)$ のマクローリン展開は、次のように表されます。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

ここで、$f^{(n)}(0)$ は $f(x)$ の $n$ 階微分を $x=0$ で評価したものです。

$f(x) = (2+x)^{1/2}$ なので、

$f'(x) = \frac{1}{2}(2+x)^{-1/2}$

$f''(x) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(2+x)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(2+x)^{-3/2}$

$f'''(x) = -\frac{1}{4}(-\frac{3}{2})(2+x)^{-5/2} = \frac{3}{8}(2+x)^{-5/2}$

一般に、$f^{(n)}(x) = (1/2)(1/2-1)(1/2-2)\cdots(1/2-(n-1))(2+x)^{1/2-n}$

したがって、$f^{(n)}(0) = (1/2)(1/2-1)(1/2-2)\cdots(1/2-(n-1))(2)^{1/2-n}$

第$n+1$項は $\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ で与えられます。

問題文に与えられた式と比較すると、

$\sqrt{2} \frac{(1/2)(1/2-1) \cdots (1/2 - (n-1))}{n!} (\frac{x}{2})^n$　となります。

よって、

ア：n-1

イ：n

ウ：n

3. 最終的な答え

ア: n-1

イ: n

ウ: n