次の関数の最大値と最小値を求め、その時の$\theta$の値を求めよ。ただし、$0 \le \theta \le \pi$とする。 (1) $y = \sin{\theta} - \sqrt{3}\cos{\theta}$ (2) $y = \sin{(\theta - \frac{\pi}{3})} + \sin{\theta}$

1. 問題の内容

次の関数の最大値と最小値を求め、その時の$\theta$の値を求めよ。ただし、$0 \le \theta \le \pi$とする。

(1) $y = \sin{\theta} - \sqrt{3}\cos{\theta}$

(2) $y = \sin{(\theta - \frac{\pi}{3})} + \sin{\theta}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin{\theta} - \sqrt{3}\cos{\theta}$

三角関数の合成を行う。

$y = 2(\frac{1}{2}\sin{\theta} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta})$

$y = 2(\sin{\theta}\cos{\frac{\pi}{3}} - \cos{\theta}\sin{\frac{\pi}{3}})$

$y = 2\sin{(\theta - \frac{\pi}{3})}$

$0 \le \theta \le \pi$より、$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$のとき最大値$2$をとる。このとき、$\theta = \frac{5\pi}{6}$。

$\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$のとき最小値$-1$をとる。このとき、$\theta = 0$。

(2) $y = \sin{(\theta - \frac{\pi}{3})} + \sin{\theta}$

加法定理を用いる。

$y = \sin{\theta}\cos{\frac{\pi}{3}} - \cos{\theta}\sin{\frac{\pi}{3}} + \sin{\theta}$

$y = \frac{1}{2}\sin{\theta} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta} + \sin{\theta}$

$y = \frac{3}{2}\sin{\theta} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta}$

$y = \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\theta} - \frac{1}{2}\cos{\theta})$

$y = \sqrt{3}(\sin{\theta}\cos{\frac{\pi}{6}} - \cos{\theta}\sin{\frac{\pi}{6}})$

$y = \sqrt{3}\sin{(\theta - \frac{\pi}{6})}$

$0 \le \theta \le \pi$より、$-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{6}$

$\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$のとき最大値$\sqrt{3}$をとる。このとき、$\theta = \frac{2\pi}{3}$。

$\theta - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$のとき最小値$-\frac{\sqrt{3}}{2}$をとる。このとき、$\theta = 0$。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $2$ ($\theta = \frac{5\pi}{6}$), 最小値: $-1$ ($\theta = 0$)

(2) 最大値: $\sqrt{3}$ ($\theta = \frac{2\pi}{3}$), 最小値: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($\theta = 0$)