$y = \sin(3x)$ のマクローリン展開の第 $n+1$ 項を求める問題です。問題文から、$(-1)^{\text{ア}} (3x)^{\text{イ}} / (\text{ウ})!$ の $\text{ア}, \text{イ}, \text{ウ}$ に入るものを答える必要があります。

1. 問題の内容

$y = \sin(3x)$ のマクローリン展開の第 $n+1$ 項を求める問題です。問題文から、$(-1)^{\text{ア}} (3x)^{\text{イ}} / (\text{ウ})!$ の $\text{ア}, \text{イ}, \text{ウ}$ に入るものを答える必要があります。

2. 解き方の手順

$\sin x$ のマクローリン展開は次のようになります。

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

したがって、$y = \sin(3x)$ のマクローリン展開は $x$ を $3x$ に置き換えて、

$\sin(3x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} (3x)^{2n+1} = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^5}{5!} - \frac{(3x)^7}{7!} + \cdots$

第 $n+1$ 項は $n$ 番目の項に対応するので、

$\frac{(-1)^n (3x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$

したがって、

$\text{ア} = n$

$\text{イ} = 2n+1$

$\text{ウ} = 2n+1$

3. 最終的な答え

ア: $n$

イ: $2n+1$

ウ: $2n+1$