関数 $y = \tan x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求め、$y = x + \frac{x^3}{\boxed{ア}} + \frac{\sin \theta x (\boxed{イ} + \sin^2 \theta x)}{\boxed{ウ} \cos^5 \theta x} x^4$ の $\boxed{ア}, \boxed{イ}, \boxed{ウ}$ に入る数字を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求め、$y = x + \frac{x^3}{\boxed{ア}} + \frac{\sin \theta x (\boxed{イ} + \sin^2 \theta x)}{\boxed{ウ} \cos^5 \theta x} x^4$ の $\boxed{ア}, \boxed{イ}, \boxed{ウ}$ に入る数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan x$ のマクローリン展開は以下のようになります。

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \dots$

与えられた式とマクローリン展開を比較すると、$\boxed{ア}$には $3$ が入ることがわかります。

$y = x + \frac{x^3}{3} + \frac{\sin \theta x (\boxed{イ} + \sin^2 \theta x)}{\boxed{ウ} \cos^5 \theta x} x^4$

ここで、$x^4$ の項を考えると、マクローリン展開の $x^5$ の係数 $\frac{2}{15}$ と対応させることが考えられます。

$\frac{2 x^5}{15} = \frac{\sin(\theta x) (\boxed{イ} + \sin^2(\theta x))}{\boxed{ウ} \cos^5(\theta x)} x^4$

$\frac{2 x}{15} = \frac{\sin(\theta x) (\boxed{イ} + \sin^2(\theta x))}{\boxed{ウ} \cos^5(\theta x)}$

$\theta x$が小さいとき、$\sin(\theta x) \approx \theta x$ かつ $\cos(\theta x) \approx 1$ と近似できます。

$\frac{2 x}{15} = \frac{\theta x (\boxed{イ} + (\theta x)^2)}{\boxed{ウ}}$

$\frac{2}{15} = \frac{\theta \boxed{イ}}{\boxed{ウ}}$

問題文において、$0 < \theta < 1$ であるという条件に加えて、$\theta \rightarrow 0$ の極限を取ることで$\boxed{イ} = 0$ということが予想できます。

マクローリン展開の計算は複雑になるので、与えられた式から推測することを目指します。

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15} x^5 + ...$

ここで、$\theta$ が小さいと仮定すると、$\sin(\theta x) \approx \theta x$ であり、$\cos(\theta x) \approx 1$ となります。すると、

$\frac{\sin \theta x (\boxed{イ} + \sin^2 \theta x)}{\boxed{ウ} \cos^5 \theta x} x^4 \approx \frac{\theta x (\boxed{イ} + (\theta x)^2)}{\boxed{ウ}} x^4 = \frac{\theta \boxed{イ} x^5 + \theta^3 x^7}{\boxed{ウ}}$

$x^5$ の係数が $\frac{2}{15}$ であることから、$\frac{\theta \boxed{イ}}{\boxed{ウ}} = \frac{2}{15}$ となる必要があります。しかし、$n=4$ の項までしか考慮していないため、この形での当てはめは難しいです。

より正確な $\tan x$ のマクローリン展開は以下の通りです。

$\tan x = x + \frac{1}{3} x^3 + \frac{2}{15} x^5 + \frac{17}{315} x^7 + O(x^9)$

問題文の与えられた式と比較すると、

$\frac{x^3}{3} + \frac{\sin \theta x (\boxed{イ} + \sin^2 \theta x)}{\boxed{ウ} \cos^5 \theta x} x^4 = \frac{1}{3} x^3 + \frac{2}{15} x^5$ に近い形になっているはずです。

ただし、$n=4$ までのマクローリン展開とあるので、$x^5$ の項を $x^4$ の項で表す必要があります。

マクローリン展開の誤差項のことを考えると、

$\frac{\sin(\theta x)(\boxed{イ}+\sin^2(\theta x))}{\boxed{ウ}\cos^5(\theta x)}x^4$

の項は、平均値の定理を使うことで表せるかもしれませんが、詳細な情報がないため、この方向での解析は困難です。

与えられた条件から$\boxed{ア} = 3$ が導けます。イとウについては追加の情報がないと導出できません。もし$\theta$が十分に小さければ、$\theta \approx 0$であるため、$\sin \theta x \approx 0, \cos \theta x \approx 1$となり、$\boxed{イ}$は0に近い数字になると思われます。この時、$n=4$という条件から、$\boxed{ウ}=0$となりえます。しかし、分母に0が来ることはないので、$\theta = 0$の場合を考えることはできません。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 解答不能

ウ: 解答不能