$n$を自然数とするとき、関数 $f(x) = x^2e^x$ の第$n$次導関数 $f^{(n)}(x)$ が、ある定数 $a_n$ を用いて $f^{(n)}(x) = x^2e^x + 2nxe^x + a_ne^x$ と表せることを示し、さらに $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

$n$を自然数とするとき、関数 $f(x) = x^2e^x$ の第$n$次導関数 $f^{(n)}(x)$ が、ある定数 $a_n$ を用いて $f^{(n)}(x) = x^2e^x + 2nxe^x + a_ne^x$ と表せることを示し、さらに $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき:

$f(x) = x^2e^x$ より、

$f'(x) = 2xe^x + x^2e^x = x^2e^x + 2xe^x + 0e^x$

よって、$a_1 = 0$ とすれば、$f'(x) = x^2e^x + 2xe^x + a_1e^x$ と表せる。

(ii) $n=k$ のとき、$f^{(k)}(x) = x^2e^x + 2kxe^x + a_ke^x$ が成り立つと仮定する。

このとき、$f^{(k+1)}(x)$ を計算する。

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx}f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx}(x^2e^x + 2kxe^x + a_ke^x)$

$= (2xe^x + x^2e^x) + 2k(e^x + xe^x) + a_ke^x$

$= x^2e^x + (2x + 2kx)e^x + (2k + a_k)e^x$

$= x^2e^x + 2(k+1)xe^x + (2k + a_k)e^x$

したがって、$a_{k+1} = 2k + a_k$ となる。

$a_{k+1}$ が存在するので、$n=k+1$ のときも $f^{(k+1)}(x) = x^2e^x + 2(k+1)xe^x + a_{k+1}e^x$ と表せる。

数学的帰納法により、$f^{(n)}(x) = x^2e^x + 2nxe^x + a_ne^x$ と表せる。

次に、$a_n$ を求める。

$a_1 = 0$ であり、$a_{k+1} = 2k + a_k$ であるから、

$a_n = a_{n-1} + 2(n-1)$

$a_{n-1} = a_{n-2} + 2(n-2)$

...

$a_2 = a_1 + 2(1)$

これらの式を全て足し合わせると、

$a_n = a_1 + 2(1+2+...+(n-1)) = 0 + 2\frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$

したがって、$a_n = n(n-1) = n^2 - n$ となる。

3. 最終的な答え

$a_n = n(n-1)$