関数 $y = \cos x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求め、与えられた式 $y = 1 - \frac{x^2}{\text{ア}!} + \frac{\text{イ}\theta x}{\text{ウ}!} x^4$ の空欄（ア、イ、ウ）を埋める問題です。ただし、アとウには半角数字を入れ、イは選択肢から適切なものを選びます。また、$0 < \theta < 1$ です。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求め、与えられた式

$y = 1 - \frac{x^2}{\text{ア}!} + \frac{\text{イ}\theta x}{\text{ウ}!} x^4$

の空欄（ア、イ、ウ）を埋める問題です。ただし、アとウには半角数字を入れ、イは選択肢から適切なものを選びます。また、$0 < \theta < 1$ です。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \dots$

$f(x) = \cos x$ なので、各階微分を計算します。

$f(x) = \cos x$

$f'(x) = -\sin x$

$f''(x) = -\cos x$

$f'''(x) = \sin x$

$f''''(x) = \cos x$

$f'''''(x) = -\sin x$

それぞれの $x=0$ での値を計算します。

$f(0) = \cos(0) = 1$

$f'(0) = -\sin(0) = 0$

$f''(0) = -\cos(0) = -1$

$f'''(0) = \sin(0) = 0$

$f''''(0) = \cos(0) = 1$

$f'''''(x) = -\sin x$

したがって、マクローリン展開は次のようになります。

$\cos x = 1 + 0\cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \dots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + R_5$

ここで、$R_5$ は剰余項であり、$R_5 = \frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!}x^5 = \frac{-\sin(\theta x)}{5!}x^5$となります。

問題文では、剰余項が $\frac{\text{イ} \theta x}{\text{ウ}!} x^4$となっているので、剰余項の階数を合わせる必要があります。剰余項は$x^5$の項なので、$n=4$までではこの項は表現できません。問題文の形に合わせると、ラグランジュの剰余項の定理より、$R_5 = \frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!}x^5$となります。

$f^{(5)}(x) = -\sin x$なので、$R_5 = \frac{-\sin(\theta x)}{5!}x^5$となり、

$R_5 = -\frac{\sin(\theta x)}{5!}x^5 = \frac{-\sin(\theta x) \theta x}{5! \theta x} x^5$となります。

選択肢に$-\sin$があるので、それを利用すると、

$y = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{-\sin (\theta x)}{5!} x^5 = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{-\sin (\theta x) \theta x}{5!} \frac{x^5}{\theta x}$ と変換できません。

$n=4$のマクローリン展開では、次のようになります。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + R_3$

ここで，$R_3 = \frac{f^{(3)}(\theta x)}{3!}x^3$となり、 $R_3 = \frac{\sin(\theta x)}{3!}x^3$

$n=4$までで打ち切ると、ラグランジュの剰余項の定理より、$f(x) = \cos x$とすると、$f^{(5)}(x) = -\sin x$より、

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{f^{(4+1)}(\theta x)}{(4+1)!} x^{4+1} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{-\sin(\theta x)}{5!}x^5$

よって、$y = 1 - \frac{x^2}{2!} - \frac{\sin(\theta x)}{5!} x^5$ となりますが、問題文とは少し異なります。

別の考え方として、$f(x) = \cos x$について、$n=4$までのテイラーの定理を適用すると、ある $0 < \theta < 1$ が存在して、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(\theta x)}{4!}x^4$

$\cos x = 1 + 0\cdot x - \frac{1}{2!}x^2 + 0\cdot x^3 + \frac{-\cos(\theta x)}{4!}x^4 = 1 - \frac{x^2}{2!} - \frac{\cos(\theta x)}{4!} x^4$となります。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: -cos

ウ: 4