関数 $y = \sqrt{2+x}$ のマクローリン展開の第 $n+1$ 項を求める問題です。ただし、与えられた式には空欄があり、それらを埋める必要があります。具体的には、 $\frac{\sqrt{2} (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}-1) \cdots (\frac{1}{2} - \boxed{ア})}{\boxed{イ}!} (\frac{x}{2})^{\boxed{ウ}}$ の空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{2+x}$ のマクローリン展開の第 $n+1$ 項を求める問題です。ただし、与えられた式には空欄があり、それらを埋める必要があります。具体的には、

$\frac{\sqrt{2} (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}-1) \cdots (\frac{1}{2} - \boxed{ア})}{\boxed{イ}!} (\frac{x}{2})^{\boxed{ウ}}$

の空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = \sqrt{2+x}$ をマクローリン展開することを考えます。マクローリン展開は、

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

で与えられます。ここで、$f^{(n)}(0)$ は $f(x)$ の $n$ 階導関数を $x=0$ で評価した値です。

$f(x) = \sqrt{2+x} = (2+x)^{1/2}$

$f(0) = \sqrt{2}$

$f'(x) = \frac{1}{2} (2+x)^{-1/2}$

$f'(0) = \frac{1}{2} (2)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

$f''(x) = \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}) (2+x)^{-3/2} = -\frac{1}{4} (2+x)^{-3/2}$

$f''(0) = -\frac{1}{4} (2)^{-3/2} = -\frac{1}{4 \cdot 2\sqrt{2}} = -\frac{1}{8\sqrt{2}}$

$f'''(x) = -\frac{1}{4} (-\frac{3}{2}) (2+x)^{-5/2} = \frac{3}{8} (2+x)^{-5/2}$

$f'''(0) = \frac{3}{8} (2)^{-5/2} = \frac{3}{8 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{3}{32\sqrt{2}}$

一般に、

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2) \cdots (\frac{1}{2}-(n-1)) (2+x)^{\frac{1}{2}-n}$

$f^{(n)}(0) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2) \cdots (\frac{1}{2}-(n-1)) (2)^{\frac{1}{2}-n}$

マクローリン展開の第 $n+1$ 項は、

$\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

ここで、

$f^{(n)}(0) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}-1) (\frac{1}{2}-2) \cdots (\frac{1}{2}-(n-1)) 2^{\frac{1}{2}-n}$

$\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2}-1) \cdots (\frac{1}{2}-(n-1)) \sqrt{2}}{2^n n!}$

$\frac{\sqrt{2} (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}-1) \cdots (\frac{1}{2}-(n-1))}{n!} (\frac{x}{2})^n$

与えられた式と比較すると、

ア = n-1

イ = n

ウ = n

3. 最終的な答え

ア: n-1

イ: n

ウ: n