$y = \tan x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求め、 $y = x + \frac{x^3}{\text{ア}} + \frac{\sin(\theta x)(\text{イ}+\sin^2(\theta x))}{\text{ウ}\cos^5(\theta x)}x^4, (0 < \theta < 1)$ の式における ア、イ、ウ に入る数字を求めよ。

1. 問題の内容

$y = \tan x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求め、

$y = x + \frac{x^3}{\text{ア}} + \frac{\sin(\theta x)(\text{イ}+\sin^2(\theta x))}{\text{ウ}\cos^5(\theta x)}x^4, (0 < \theta < 1)$

の式における ア、イ、ウ に入る数字を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan x$ のマクローリン展開を求める。

$\tan x$ のマクローリン展開は、以下のようになる。

$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + ...$

$n=4$ までの展開なので、$x^4$ の項までを考える。

$y = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + ...$

与えられた式と比較する。

$y = x + \frac{x^3}{\text{ア}} + \frac{\sin(\theta x)(\text{イ}+\sin^2(\theta x))}{\text{ウ}\cos^5(\theta x)}x^4, (0 < \theta < 1)$

$y = x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$

$\frac{1}{\text{ア}} = \frac{1}{3}$ より、ア = 3

また、与えられた式における$x^4$ の項は、$x^3$の次の項を表していると考えられるため、剰余項の形に近似されていると考える。

$R_4(x) = \frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!}x^5$

$\tan x$ の5階微分は、複雑なのでテーラーの定理を用いて直接導出するのは難しい。そのため、問題文の形から逆算して考える。問題文は、$x^4$の項で打ち切ったときの剰余項の形を表しており、$0 < \theta < 1$ という条件からラグランジュの剰余項を参考にしていると考えられる。

$y = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{\sin(\theta x)(\text{イ}+\sin^2(\theta x))}{\text{ウ}\cos^5(\theta x)}x^4$

$\tan x$ を4次までマクローリン展開すると、

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$

残りの項は剰余項で、$x^4$の係数である$\frac{\sin(\theta x)(\text{イ}+\sin^2(\theta x))}{\text{ウ}\cos^5(\theta x)}$は、ラグランジュの剰余項の形になっていると推測できる。

$\text{ア} = 3$

問題文の式は、テイラーの定理の剰余項の形に類似しており、$\frac{2}{15}x^5$に近似されていると考えられる。$\frac{2}{15}x^5$を剰余項の形に無理やり変形すると、以下のような形になる。

$\frac{\sin(\theta x)(2 + \sin^2(\theta x))}{15 cos^5(\theta x)}x^4 \approx \frac{2}{15}x^5$

これは、$x$ が0に近い時に、$\sin x \approx x$ および $\cos x \approx 1$ となることを利用している。したがって、イ = 2、ウ = 15 と推測できる。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 2

ウ: 15