$y = \sin 3x$ のマクローリン展開の第 $n+1$ 項を求め、与えられた式 $\frac{(-1)^{\text{ア}} (3x)^{\text{イ}}}{\text{ウ}!}$ におけるア、イ、ウをそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

$y = \sin 3x$ のマクローリン展開の第 $n+1$ 項を求め、与えられた式

$\frac{(-1)^{\text{ア}} (3x)^{\text{イ}}}{\text{ウ}!}$

におけるア、イ、ウをそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

$\sin x$ のマクローリン展開は以下の通りです。

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

したがって、$y = \sin 3x$ のマクローリン展開は、$x$ を $3x$ に置き換えて、

$\sin 3x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (3x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^5}{5!} - \frac{(3x)^7}{7!} + \cdots$

$n+1$ 項は、

$\frac{(-1)^n (3x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$

となります。したがって、

ア： $n$

イ： $2n+1$

ウ： $(2n+1)$

3. 最終的な答え

ア: $n$

イ: $2n+1$

ウ: $2n+1$