問題は、 $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の2つの三角関数の方程式を解き、さらに $\theta$ に制限がないときの解を求めるというものです。 (1) $\tan{\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (2) $\tan{\theta} = -\sqrt{3}$

1. 問題の内容

問題は、 $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の2つの三角関数の方程式を解き、さらに $\theta$ に制限がないときの解を求めるというものです。

(1) $\tan{\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) $\tan{\theta} = -\sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\tan{\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ の場合

* まず、 $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で $\tan{\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ を探します。$\tan{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であることから、$\theta = \frac{\pi}{6}$ が一つの解となります。また、$\tan$ の周期は $\pi$ なので、$\theta = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$ も解となります。

* 次に、制限がないときの解を求めます。$\tan$ の周期は $\pi$ なので、一般解は $\theta = \frac{\pi}{6} + n\pi$ （$n$は整数）となります。

(2) $\tan{\theta} = -\sqrt{3}$ の場合

* まず、$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で $\tan{\theta} = -\sqrt{3}$ となる $\theta$ を探します。$\tan{\frac{2\pi}{3}} = -\sqrt{3}$ であることから、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ が一つの解となります。また、$\tan$ の周期は $\pi$ なので、$\theta = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3}$ も解となります。

* 次に、制限がないときの解を求めます。$\tan$ の周期は $\pi$ なので、一般解は $\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$ （$n$は整数）となります。

3. 最終的な答え

(1) $\tan{\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

* $0 \leq \theta < 2\pi$ のときの解：$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$

* 制限がないときの解：$\theta = \frac{\pi}{6} + n\pi$ ($n$は整数)

(2) $\tan{\theta} = -\sqrt{3}$

* $0 \leq \theta < 2\pi$ のときの解：$\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

* 制限がないときの解：$\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$ ($n$は整数)