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与えられた積分を計算します。 $\int \frac{e^{3x}+1}{e^{2x}-e^x+1} dx$

解析学積分指数関数積分計算
2025/6/20

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。
∫e3x+1e2x−ex+1dx\int \frac{e^{3x}+1}{e^{2x}-e^x+1} dx

2. 解き方の手順

まず、分子を因数分解します。
e3x+1=(ex+1)(e2x−ex+1)e^{3x} + 1 = (e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)
積分は次のようになります。
∫(ex+1)(e2x−ex+1)e2x−ex+1dx\int \frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^{2x}-e^x+1} dx
∫(ex+1)dx\int (e^x+1) dx
積分を計算します。
∫exdx+∫1dx\int e^x dx + \int 1 dx
ex+x+Ce^x + x + C

3. 最終的な答え

ex+x+Ce^x + x + C

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