与えられた積分を計算します。 $$\int x e^{3x+2} dx$$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$$\int x e^{3x+2} dx$$

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解くことができます。部分積分の公式は次の通りです。

$$\int u dv = uv - \int v du$$

ここで、$u = x$、$dv = e^{3x+2} dx$ とします。すると、$du = dx$ であり、$v$ は $dv$ の積分、つまり $v = \int e^{3x+2} dx$ となります。

$v$ を計算するために、置換積分を行います。$w = 3x+2$ とすると、$dw = 3dx$ より $dx = \frac{1}{3} dw$ です。したがって、

$$v = \int e^{3x+2} dx = \int e^w \frac{1}{3} dw = \frac{1}{3} \int e^w dw = \frac{1}{3} e^w = \frac{1}{3} e^{3x+2}$$

これで $u = x$、$dv = e^{3x+2} dx$、$du = dx$、$v = \frac{1}{3} e^{3x+2}$ が求まりました。部分積分の公式に代入すると、

$$\int x e^{3x+2} dx = x \left( \frac{1}{3} e^{3x+2} \right) - \int \frac{1}{3} e^{3x+2} dx = \frac{1}{3} x e^{3x+2} - \frac{1}{3} \int e^{3x+2} dx$$

$\int e^{3x+2} dx$ は先程計算した $v$ なので、

$$\int x e^{3x+2} dx = \frac{1}{3} x e^{3x+2} - \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} e^{3x+2} \right) + C = \frac{1}{3} x e^{3x+2} - \frac{1}{9} e^{3x+2} + C$$

$$= e^{3x+2} \left( \frac{1}{3}x - \frac{1}{9} \right) + C$$

3. 最終的な答え

$$e^{3x+2} \left( \frac{1}{3}x - \frac{1}{9} \right) + C$$

または

$$\frac{1}{9}e^{3x+2}(3x-1)+C$$