与えられた積分を計算します。積分は $\int x (\log x)^2 dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $\int x (\log x)^2 dx$ です。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用います。部分積分は $\int u dv = uv - \int v du$ で与えられます。

最初に、$u = (\log x)^2$ および $dv = x dx$ とします。すると、$du = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{2 \log x}{x} dx$ および $v = \int x dx = \frac{x^2}{2}$ となります。

したがって、

$\int x (\log x)^2 dx = \frac{x^2}{2} (\log x)^2 - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2 \log x}{x} dx = \frac{x^2}{2} (\log x)^2 - \int x \log x dx$

次に、$\int x \log x dx$ を計算します。ここで、$u = \log x$ および $dv = x dx$ とします。すると、$du = \frac{1}{x} dx$ および $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

これを元の積分に代入すると、

$\int x (\log x)^2 dx = \frac{x^2}{2} (\log x)^2 - \left(\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}\right) + C = \frac{x^2}{2} (\log x)^2 - \frac{x^2}{2} \log x + \frac{x^2}{4} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{2} (\log x)^2 - \frac{x^2}{2} \log x + \frac{x^2}{4} + C$