与えられた積分を計算する問題です。積分は $\int 2x(x^2+1)^4 dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。積分は $\int 2x(x^2+1)^4 dx$ です。

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分法を使って解くことができます。

まず、$u = x^2 + 1$ と置きます。

このとき、$du = 2x dx$ となります。

したがって、積分は次のように書き換えることができます。

$\int (x^2 + 1)^4 (2x dx) = \int u^4 du$

$u^4$ を積分すると、

$\int u^4 du = \frac{1}{5}u^5 + C$

ここで、$C$は積分定数です。

最後に、$u$ を $x^2 + 1$ に戻すと、

$\frac{1}{5}(x^2 + 1)^5 + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5}(x^2 + 1)^5 + C$