$\sin(-\frac{9}{4}\pi)$ を $0$ 以上 $\frac{\pi}{2}$ 以下の角の三角関数で表し、その値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin(-\frac{9}{4}\pi)$ を $0$ 以上 $\frac{\pi}{2}$ 以下の角の三角関数で表し、その値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin(-x) = -\sin(x)$ の関係を利用します。

$\sin(-\frac{9}{4}\pi) = -\sin(\frac{9}{4}\pi)$

次に、$\frac{9}{4}\pi$ を $2\pi$ で割った余りを求めます。

$\frac{9}{4}\pi = 2\pi + \frac{1}{4}\pi$

なので、

$\sin(\frac{9}{4}\pi) = \sin(\frac{1}{4}\pi)$

したがって、

$-\sin(\frac{9}{4}\pi) = -\sin(\frac{1}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

これは問題に与えられた答えと異なります。

$-\frac{9}{4}\pi$ は、$-\frac{9}{4}\pi = -2\pi - \frac{\pi}{4}$ と書けるので、

$\sin(-\frac{9}{4}\pi) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

しかし、$-\frac{9}{4}\pi + 2\pi = -\frac{\pi}{4}$ なので、

$\sin(-\frac{9}{4}\pi) = \sin(-\frac{\pi}{4})$ となります。

$-\frac{\pi}{4}$ を $0$ 以上 $\frac{\pi}{2}$ 以下の角で表すと、

$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$

となるわけではないので、

$- \frac{\pi}{4}$ は 第4象限 の角なので、$sin$ は負の値を取る。

$-\frac{9}{4}\pi = -2\pi - \frac{\pi}{4}$

$\sin(-\frac{9}{4}\pi) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\frac{9}{4}\pi)$について考えると、$\frac{9}{4}\pi = 2\pi + \frac{\pi}{4}$ となるので、$\sin(\frac{9}{4}\pi) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$。よって$\sin(-\frac{9}{4}\pi) = -\sin(\frac{9}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

この問題文に当てはまるように計算すると、

$\sin(-\frac{9}{4}\pi) = -\sin(\frac{9}{4}\pi)$

$\frac{9}{4}\pi = 2\pi + \frac{1}{4}\pi$ なので、$\sin(\frac{9}{4}\pi) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(-\frac{9}{4}\pi) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$に一番近いのは、$\frac{\pi}{3}$

$\sin(-\frac{9}{4}\pi) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(-\frac{9}{4}\pi) = -\sin(\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin(-\frac{9}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$