関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1} + 1}{x^{2n} + x - 1}$ について、以下の問題を解く。 (1) $f(1)$ と $f(-1)$ を求める。 (2) $f(\frac{1}{2})$ を求める。 (3) $y=f(x)$ のグラフを描く。 (4) $y=f(x)$ のグラフと直線 $y=ax$ がただ1つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1} + 1}{x^{2n} + x - 1}$ について、以下の問題を解く。

(1) $f(1)$ と $f(-1)$ を求める。

(2) $f(\frac{1}{2})$ を求める。

(3) $y=f(x)$ のグラフを描く。

(4) $y=f(x)$ のグラフと直線 $y=ax$ がただ1つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の極限を計算する。

$|x| < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} x^{2n} = 0$ なので、

$$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1} + 1}{x^{2n} + x - 1} = \frac{0 + 1}{0 + x - 1} = \frac{1}{x-1}$$

$|x| > 1$ のとき、

$$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1} + 1}{x^{2n} + x - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{x + \frac{1}{x^{2n}}}{1 + \frac{x-1}{x^{2n}}} = x$$

$x = 1$ のとき、

$$f(1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{2n+1} + 1}{1^{2n} + 1 - 1} = \frac{1 + 1}{1 + 0} = 2$$

$x = -1$ のとき、

$$f(-1) = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{2n+1} + 1}{(-1)^{2n} + (-1) - 1} = \frac{-1 + 1}{1 - 1 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$$

(1) $f(1) = 2$、$f(-1) = 0$

(2) $f(\frac{1}{2})$ を求める。$|\frac{1}{2}| < 1$ なので、

$$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$$

(3) $y=f(x)$ のグラフを描く。

* $x < -1$ のとき、$f(x) = x$

* $-1 < x < 1$ のとき、$f(x) = \frac{1}{x-1}$

* $x > 1$ のとき、$f(x) = x$

* $x = -1$ のとき、$f(x) = 0$

* $x = 1$ のとき、$f(x) = 2$

(4) $y=f(x)$ のグラフと直線 $y=ax$ がただ1つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求める。

$x < -1$ のとき、$f(x) = x$ であり、$y=x$ と $y=ax$ の交点は $x=ax$ より $x(1-a) = 0$ となる。$x=0$ は $-1<x<1$の範囲なので、$x \neq 0$ で交点を持つ条件は $a=1$ である。このとき $x< -1$ での交点はない。

$-1 < x < 1$ のとき、$f(x) = \frac{1}{x-1}$ であり、$y=\frac{1}{x-1}$ と $y=ax$ の交点は $ax(x-1) = 1$ より $ax^2 - ax - 1 = 0$ となる。判別式 $D = a^2 + 4a$ であり、これが重解を持つとき $a^2+4a = 0$, つまり $a=0, -4$ である。$a=0$ のとき $y=0$ であり、$-1<x<1$ における $f(x)$ との交点は $0 = \frac{1}{x-1}$ であり、これは解を持たない。よって交点はない。$a = -4$ のとき $-4x^2+4x-1=0$より $4x^2-4x+1=0$, $(2x-1)^2=0$, $x=\frac{1}{2}$であり、$-1<x<1$を満たす。

$x > 1$ のとき、$f(x) = x$ であり、$y=x$ と $y=ax$ の交点は $x=ax$ より $x(1-a) = 0$ となる。$x=0$ は交点とならないので、$1-a=0$ つまり $a=1$ のとき、$x>1$ で必ず交点を持つ。

また、$x=-1$のとき$f(-1)=0$であるから直線$y=ax$は原点を通るので$x=-1$で交点を持つことはない。$x=1$のとき、$f(1)=2$であるから$y=ax$が$(1,2)$を通るには$a=2$が必要である。

グラフより、共有点が一つになる条件は以下の通り。

1. $a < -4$

2. $a = 0$

3. $a=1$

3. 最終的な答え

(1) $f(1) = 2$, $f(-1) = 0$

(2) $f(\frac{1}{2}) = -2$

(3) グラフは省略

(4) $a < -4$, $a = 0$, $a=1$