関数 $f(x) = \sqrt{4-x}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(3, 1)$ における接線の方程式を求めます。導関数は $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{4-x}}$ を用います。 (2) (1) で求めた接線の方程式を利用して、$\sqrt{0.95}$ と $\sqrt{0.99}$ の近似値をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{4-x}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(3, 1)$ における接線の方程式を求めます。導関数は $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{4-x}}$ を用います。

(2) (1) で求めた接線の方程式を利用して、$\sqrt{0.95}$ と $\sqrt{0.99}$ の近似値をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) 接線の方程式を求める。

まず、点 $(3, 1)$ における接線の傾きを求めます。これは、導関数 $f'(x)$ に $x = 3$ を代入することで得られます。

$f'(3) = -\frac{1}{2\sqrt{4-3}} = -\frac{1}{2\sqrt{1}} = -\frac{1}{2}$

したがって、接線の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

次に、点 $(3, 1)$ を通り傾きが $-\frac{1}{2}$ の直線の方程式を求めます。これは、点傾斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いて計算できます。ここで、$(x_1, y_1) = (3, 1)$ であり、$m = -\frac{1}{2}$ です。

$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 3)$

$y - 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + 1$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

したがって、接線の方程式は $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ です。

(2) $\sqrt{0.95}$ と $\sqrt{0.99}$ の近似値を求める。

$f(x) = \sqrt{4-x}$ であり、$f(3) = \sqrt{4-3} = 1$ であったことを利用します。

$\sqrt{0.95}$ および $\sqrt{0.99}$ は、$f(x)$ を少し変形することで表現できます。

$\sqrt{0.95} = \sqrt{4 - 3.05}$の形にしたいので、$4 - x = 0.95$と置くと、$x = 3.05$です。

$\sqrt{0.99} = \sqrt{4 - 3.01}$の形にしたいので、$4 - x = 0.99$と置くと、$x = 3.01$です。

$f(3.05) \approx -\frac{1}{2}(3.05) + \frac{5}{2} = -\frac{3.05}{2} + \frac{5}{2} = \frac{1.95}{2} = 0.975$

$f(3.01) \approx -\frac{1}{2}(3.01) + \frac{5}{2} = -\frac{3.01}{2} + \frac{5}{2} = \frac{1.99}{2} = 0.995$

したがって、$\sqrt{0.95}$ の近似値は $0.975$ で、$\sqrt{0.99}$ の近似値は $0.995$ です。

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

(2) 近似値:

$\sqrt{0.95} \approx 0.975$

$\sqrt{0.99} \approx 0.995$