$\int (4-5 \tan x) \cos x dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int (4-5 \tan x) \cos x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$\int (4-5 \tan x) \cos x dx = \int (4\cos x - 5 \tan x \cos x) dx$

ここで、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用すると、

$\int (4\cos x - 5 \tan x \cos x) dx = \int (4\cos x - 5 \frac{\sin x}{\cos x} \cos x) dx = \int (4\cos x - 5 \sin x) dx$

積分を分配します。

$\int (4\cos x - 5 \sin x) dx = 4 \int \cos x dx - 5 \int \sin x dx$

$\int \cos x dx = \sin x + C_1$

$\int \sin x dx = -\cos x + C_2$

なので、

$4 \int \cos x dx - 5 \int \sin x dx = 4\sin x - 5(-\cos x) + C = 4\sin x + 5\cos x + C$

3. 最終的な答え

$4\sin x + 5\cos x + C$