(1) 直線 $y = 32x - 15$ に平行な、曲線 $y = x^4 + 1$ の接線の方程式を求める。 (2) 曲線 $y = f(x)$ の $x = 4$ における接線の方程式が $y = \frac{7}{2}x - 11$ であるとき、$f(4)$ と $f'(4)$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 直線 $y = 32x - 15$ に平行な、曲線 $y = x^4 + 1$ の接線の方程式を求める。

(2) 曲線 $y = f(x)$ の $x = 4$ における接線の方程式が $y = \frac{7}{2}x - 11$ であるとき、$f(4)$ と $f'(4)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^4 + 1$ を微分して、導関数を求める。

$\frac{dy}{dx} = 4x^3$

直線 $y = 32x - 15$ に平行な接線の傾きは $32$ なので、$4x^3 = 32$ となる $x$ の値を求める。

$x^3 = 8$

$x = 2$

$x = 2$ のときの $y$ の値を求める。

$y = 2^4 + 1 = 16 + 1 = 17$

接点の座標は $(2, 17)$ である。

接線の方程式は、$y - 17 = 32(x - 2)$ より、

$y = 32x - 64 + 17$

$y = 32x - 47$

(2)

曲線 $y = f(x)$ の $x = 4$ における接線の方程式が $y = \frac{7}{2}x - 11$ である。

$x = 4$ のとき、$y = \frac{7}{2} \times 4 - 11 = 14 - 11 = 3$

接点の座標は $(4, 3)$ であり、$f(4)$ は $x = 4$ のときの $y$ の値なので、$f(4) = 3$。

接線の傾きは $f'(4)$ なので、$f'(4) = \frac{7}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $y = 32x - 47$

(2) $f(4) = 3$, $f'(4) = \frac{7}{2}$