定積分 $\int_0^3 \sqrt{4-x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^3 \sqrt{4-x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、三角関数への置換によって計算できます。

$x = 2\sin\theta$ と置換します。すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$となります。

$x = 0$ のとき、$2\sin\theta = 0$ なので、$\theta = 0$ です。

$x = 3$ のとき、$2\sin\theta = 3$ なので、$\sin\theta = \frac{3}{2}$ です。しかし、$\sin\theta$ は常に -1 から 1 の間の値を取るため、$\sin\theta = \frac{3}{2}$ はありえません。

積分範囲に間違いがないか確認します。問題文を信じると、積分範囲は0から3です。しかし、$4-x^2$の平方根を積分する際に、$x$が2を超えると、平方根の中身が負になってしまいます。したがって、積分範囲に誤りがあると考えるのが妥当です。積分範囲を0から2に修正して積分を行うことにします。

$x = 2\sin\theta$ と置換します。すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$となります。

$x = 0$ のとき、$2\sin\theta = 0$ なので、$\theta = 0$ です。

$x = 2$ のとき、$2\sin\theta = 2$ なので、$\sin\theta = 1$ 、つまり $\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

$\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-(2\sin\theta)^2} = \sqrt{4-4\sin^2\theta} = \sqrt{4(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{4\cos^2\theta} = 2\cos\theta$ となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_0^2 \sqrt{4-x^2} dx = \int_0^{\pi/2} (2\cos\theta)(2\cos\theta) d\theta = \int_0^{\pi/2} 4\cos^2\theta d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ であることを利用すると、

$4\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta d\theta = 4\int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = 2\int_0^{\pi/2} (1+\cos(2\theta)) d\theta = 2\left[\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_0^{\pi/2}$

$= 2\left[\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi) - (0 + \frac{1}{2}\sin(0))\right] = 2\left[\frac{\pi}{2} + 0 - 0\right] = \pi$

修正前の問題（積分範囲が0から3の場合）では、置換積分は正しく定義できないので、この問題の積分範囲は0から2であると推定できます。

3. 最終的な答え

$\pi$