次の和 $S$ を求めよ。 $S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めよ。

$S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

2. 解き方の手順

この和は、部分分数分解を利用して計算できます。

一般項 $\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$ を部分分数に分解します。

$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{A}{3k-2} + \frac{B}{3k+1}$

両辺に $(3k-2)(3k+1)$ を掛けると、

$1 = A(3k+1) + B(3k-2)$

この式がすべての $k$ について成り立つためには、

$k$ の係数について $3A + 3B = 0$、定数項について $A - 2B = 1$ が成り立ちます。

$A + B = 0$ より $B = -A$ なので、 $A - 2(-A) = 1$、つまり $3A = 1$。

したがって、$A = \frac{1}{3}$、$B = -\frac{1}{3}$ となります。

よって、

$\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$

この和は、以下のように書き下すことができます。

$S = \frac{1}{3} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10}\right) + \dots + \left(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\right) \right]$

これは望遠鏡和（telescoping sum）なので、多くの項が相殺され、初めの項と最後の項だけが残ります。

$S = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+1-1}{3n+1} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{3n+1} \right) = \frac{n}{3n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{3n+1}$