与えられた定積分を計算します。積分は$\int e^{-x} \sin(x+\frac{\pi}{4}) dx$です。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。積分は$\int e^{-x} \sin(x+\frac{\pi}{4}) dx$です。

2. 解き方の手順

部分積分を2回適用します。

まず、$u = \sin(x+\frac{\pi}{4})$、$dv = e^{-x} dx$とします。

すると、$du = \cos(x+\frac{\pi}{4}) dx$、$v = -e^{-x}$となります。

したがって、

$$\int e^{-x} \sin(x+\frac{\pi}{4}) dx = -e^{-x}\sin(x+\frac{\pi}{4}) - \int (-e^{-x})\cos(x+\frac{\pi}{4}) dx$$

$$= -e^{-x}\sin(x+\frac{\pi}{4}) + \int e^{-x}\cos(x+\frac{\pi}{4}) dx$$

次に、$\int e^{-x}\cos(x+\frac{\pi}{4}) dx$に対して部分積分を適用します。

$u = \cos(x+\frac{\pi}{4})$、$dv = e^{-x} dx$とします。

すると、$du = -\sin(x+\frac{\pi}{4}) dx$、$v = -e^{-x}$となります。

したがって、

$$\int e^{-x}\cos(x+\frac{\pi}{4}) dx = -e^{-x}\cos(x+\frac{\pi}{4}) - \int (-e^{-x})(-\sin(x+\frac{\pi}{4})) dx$$

$$= -e^{-x}\cos(x+\frac{\pi}{4}) - \int e^{-x}\sin(x+\frac{\pi}{4}) dx$$

以上より、

$$\int e^{-x} \sin(x+\frac{\pi}{4}) dx = -e^{-x}\sin(x+\frac{\pi}{4}) - e^{-x}\cos(x+\frac{\pi}{4}) - \int e^{-x}\sin(x+\frac{\pi}{4}) dx$$

$I = \int e^{-x} \sin(x+\frac{\pi}{4}) dx$とすると、

$$I = -e^{-x}\sin(x+\frac{\pi}{4}) - e^{-x}\cos(x+\frac{\pi}{4}) - I$$

$$2I = -e^{-x}(\sin(x+\frac{\pi}{4}) + \cos(x+\frac{\pi}{4}))$$

$$I = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin(x+\frac{\pi}{4}) + \cos(x+\frac{\pi}{4})) + C$$

$$\sin(x+\frac{\pi}{4}) + \cos(x+\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{2}) = \sqrt{2}\cos(x)$$

したがって、

$$I = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-x}\cos(x) + C$$

3. 最終的な答え

$-\frac{e^{-x}}{2} (\sin(x+\frac{\pi}{4}) + \cos(x+\frac{\pi}{4})) + C = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-x}\cos(x) + C$