曲線 $y = x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2$ を $C$ とし、$C$ と異なる2点で接する直線を $l$ とする。曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2$ を $C$ とし、$C$ と異なる2点で接する直線を $l$ とする。曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、接線の方程式を求めることを考えます。曲線 $C$ の式を $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2$ とおきます。直線 $l$ が $x = \alpha$ と $x = \beta$ ($\alpha \ne \beta$) で曲線 $C$ に接すると仮定します。

すると、$f(x) - l(x) = (x - \alpha)^2 (x - \beta)^2$ となるはずです。なぜなら、$f(x) - l(x)$ は4次式であり、$x = \alpha$ と $x = \beta$ で重解を持つからです。

$(x-\alpha)^2(x-\beta)^2 = (x^2 - 2\alpha x + \alpha^2)(x^2 - 2\beta x + \beta^2) = x^4 - 2(\alpha + \beta)x^3 + (\alpha^2 + 4\alpha\beta + \beta^2)x^2 - 2\alpha\beta(\alpha + \beta)x + \alpha^2\beta^2$

この式と $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2$ を比較すると、

$x^3$ の係数より、$2(\alpha + \beta) = 2$ なので $\alpha + \beta = 1$。

$x^2$ の係数より、$\alpha^2 + 4\alpha\beta + \beta^2 = 1$。

$\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 + 2\alpha\beta = 1$。 $(\alpha + \beta)^2 + 2\alpha\beta = 1$。

よって、 $1 + 2\alpha\beta = 1$ となり、$\alpha\beta = 0$。

$\alpha + \beta = 1$、$\alpha\beta = 0$ より、$\alpha = 0$, $\beta = 1$ または $\alpha = 1$, $\beta = 0$。

いずれにせよ、$\alpha = 0$, $\beta = 1$ として計算を進めても一般性を失いません。

したがって、$f(x) - l(x) = x^2(x - 1)^2 = x^4 - 2x^3 + x^2$。

よって、$l(x) = f(x) - (x^4 - 2x^3 + x^2) = (x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x + 2) - (x^4 - 2x^3 + x^2) = -2x + 2$。

求める面積は、$\int_0^1 |f(x) - l(x)| dx = \int_0^1 |x^4 - 2x^3 + x^2| dx = \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) dx = [\frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6 - 15 + 10}{30} = \frac{1}{30}$。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{30}$