2重積分 $\iint_D (x+y)^2 dxdy$ を計算します。ここで、$D$ は $x^2 + y^2 \leq 2^2$ で定義される領域、つまり半径2の円板です。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D (x+y)^2 dxdy$ を計算します。ここで、$D$ は $x^2 + y^2 \leq 2^2$ で定義される領域、つまり半径2の円板です。

2. 解き方の手順

極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、$dxdy = r dr d\theta$ となります。積分領域 $D$ は $0 \leq r \leq 2$、$0 \leq \theta \leq 2\pi$ と表されます。

したがって、積分は次のようになります。

$\iint_D (x+y)^2 dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (r\cos\theta + r\sin\theta)^2 r dr d\theta$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^2(\cos\theta + \sin\theta)^2 r dr d\theta$

$= \int_0^{2\pi} (\cos\theta + \sin\theta)^2 d\theta \int_0^2 r^3 dr$

まず、$r$ に関する積分を計算します。

$\int_0^2 r^3 dr = \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^2 = \frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4$

次に、$\theta$ に関する積分を計算します。

$\int_0^{2\pi} (\cos\theta + \sin\theta)^2 d\theta = \int_0^{2\pi} (\cos^2\theta + 2\cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta) d\theta$

$= \int_0^{2\pi} (1 + 2\cos\theta\sin\theta) d\theta = \int_0^{2\pi} (1 + \sin(2\theta)) d\theta$

$= \left[\theta - \frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_0^{2\pi} = (2\pi - \frac{1}{2}\cos(4\pi)) - (0 - \frac{1}{2}\cos(0))$

$= 2\pi - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2\pi$

したがって、元の積分は

$\iint_D (x+y)^2 dxdy = (2\pi) (4) = 8\pi$

3. 最終的な答え

$8\pi$