三角関数の合成により、$(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sin\alpha + (\sqrt{6}+\sqrt{2})\cos\alpha$ を $r\sin(\alpha+\beta)$ と表す。ただし、$r>0, 0 \le \beta < \pi$ とする。このとき、$\sin\beta$ と $\beta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角関数の合成により、$(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sin\alpha + (\sqrt{6}+\sqrt{2})\cos\alpha$ を $r\sin(\alpha+\beta)$ と表す。ただし、$r>0, 0 \le \beta < \pi$ とする。このとき、$\sin\beta$ と $\beta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成の公式より、

$r = \sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}$

$r = \sqrt{(6 - 2\sqrt{12} + 2) + (6 + 2\sqrt{12} + 2)}$

$r = \sqrt{8 - 4\sqrt{3} + 8 + 4\sqrt{3}}$

$r = \sqrt{16} = 4$

$(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sin\alpha + (\sqrt{6}+\sqrt{2})\cos\alpha = r\sin(\alpha+\beta) = r(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)$

$r\cos\beta = \sqrt{6}-\sqrt{2}$

$r\sin\beta = \sqrt{6}+\sqrt{2}$

$r = 4$

$\cos\beta = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\sin\beta = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\sin\beta = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

次に $\beta$ を求める。

$\cos2\beta = \cos^2\beta - \sin^2\beta = (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})^2 - (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})^2$

$= \frac{6-2\sqrt{12}+2}{16} - \frac{6+2\sqrt{12}+2}{16} = \frac{8-4\sqrt{3}}{16} - \frac{8+4\sqrt{3}}{16} = \frac{-8\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin2\beta = 2\sin\beta\cos\beta = 2\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{2(6-2)}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$\cos2\beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin2\beta = \frac{1}{2}$ を満たす $2\beta$ は、

$2\beta = \frac{5\pi}{6}$

したがって $\beta = \frac{5\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\sin\beta = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\beta = \frac{5\pi}{12}$