与えられた積分 $\int (\sin x + \sin 2x)^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (\sin x + \sin 2x)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(\sin x + \sin 2x)^2$ を展開します。

$(\sin x + \sin 2x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \sin 2x + \sin^2 2x$

ここで、$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ なので、

$2\sin x \sin 2x = 2\sin x (2\sin x \cos x) = 4 \sin^2 x \cos x$

また、$\sin^2 2x = (2\sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x$

したがって、

$(\sin x + \sin 2x)^2 = \sin^2 x + 4 \sin^2 x \cos x + 4 \sin^2 x \cos^2 x$

積分は

$\int (\sin^2 x + 4 \sin^2 x \cos x + 4 \sin^2 x \cos^2 x) dx$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いると、

$\int (\frac{1 - \cos 2x}{2} + 4 \frac{1 - \cos 2x}{2} \cos x + 4 \frac{1 - \cos 2x}{2} \cos^2 x) dx$

$= \int (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x + 2 (1 - \cos 2x) \cos x + 2 (1 - \cos 2x) \cos^2 x) dx$

$= \int (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x + 2 \cos x - 2 \cos 2x \cos x + 2 \cos^2 x - 2 \cos 2x \cos^2 x) dx$

ここで、$2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$ を用いると、

$= \int (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x + 2 \cos x - 2 \cos 2x \cos x + 1 + \cos 2x - (1 + \cos 2x) \cos 2x) dx$

$= \int (\frac{3}{2} + 2 \cos x + \frac{1}{2} \cos 2x - 2 \cos 2x \cos x - \cos^2 2x) dx$

積和の公式 $2 \cos a \cos b = \cos(a+b) + \cos(a-b)$ より、$2 \cos 2x \cos x = \cos 3x + \cos x$

$\int (\frac{3}{2} + 2 \cos x + \frac{1}{2} \cos 2x - (\cos 3x + \cos x) - \frac{1 + \cos 4x}{2}) dx$

$= \int (\frac{3}{2} + \cos x + \frac{1}{2} \cos 2x - \cos 3x - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x) dx$

$= \int (1 + \cos x + \frac{1}{2} \cos 2x - \cos 3x - \frac{1}{2} \cos 4x) dx$

$= x + \sin x + \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{3} \sin 3x - \frac{1}{8} \sin 4x + C$

3. 最終的な答え

$x + \sin x + \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{3} \sin 3x - \frac{1}{8} \sin 4x + C$