$y = \sqrt{2 + x}$ のマクローリン展開の第$n+1$項を求める問題です。与えられた式の空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

$y = \sqrt{2 + x}$ のマクローリン展開の第$n+1$項を求める問題です。与えられた式の空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数を$x=0$の周りでテイラー展開したものです。

$f(x) = \sqrt{2+x}$ を考えると、$f(x) = \sqrt{2} \sqrt{1 + \frac{x}{2}}$となります。

$\sqrt{1+u}$のマクローリン展開は、

$\sqrt{1+u} = 1 + \frac{1}{2} u + \frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 1)}{2!} u^2 + \frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 1)(\frac{1}{2} - 2)}{3!} u^3 + \cdots$

と表せます。この展開の第$n+1$項は、

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 1) \cdots (\frac{1}{2} - n)}{ (n+1)! } u^{n+1}$

となります。

ここで、$u = \frac{x}{2}$ なので、

$\sqrt{2} \sqrt{1 + \frac{x}{2}} = \sqrt{2} \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{x}{2} + \frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 1)}{2!} (\frac{x}{2})^2 + \cdots \right)$

となります。

第$n+1$項は、

$\sqrt{2} \frac{ (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2} - 1) \cdots (\frac{1}{2} - n) }{ (n+1)! } \left( \frac{x}{2} \right)^{n+1}$

となります。

問題文の形に合わせると、

$\frac{\sqrt{2} (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2} - 1) \cdots (\frac{1}{2} - \text{ア}) }{\text{イ}!} (\frac{x}{2})^{\text{ウ}}$

なので、ア = n, イ = n+1, ウ = n+1 となります。

3. 最終的な答え

ア: n

イ: n+1

ウ: n+1