関数 $y = \cos x$ について、n=4としてマクローリンの定理を適用し、 $y = 1 - \frac{x^2}{ア!} + \frac{イ \theta x}{ウ!} x^4$ (ただし $0 < \theta < 1$) の空欄（ア、イ、ウ）を埋める問題です。アとウには半角数字を、イには選択肢から適切なものを選びます。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos x$ について、n=4としてマクローリンの定理を適用し、

$y = 1 - \frac{x^2}{ア!} + \frac{イ \theta x}{ウ!} x^4$ (ただし $0 < \theta < 1$)

の空欄（ア、イ、ウ）を埋める問題です。アとウには半角数字を、イには選択肢から適切なものを選びます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ のマクローリン展開（テイラー展開の中心を0としたもの）は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(\theta x)}{4!}x^4$

と表されます。（剰余項はラグランジュの剰余項の形を使用）

$f(x) = \cos x$ の場合、

$f'(x) = -\sin x$

$f''(x) = -\cos x$

$f'''(x) = \sin x$

$f^{(4)}(x) = \cos x$

となります。

したがって、

$f(0) = \cos(0) = 1$

$f'(0) = -\sin(0) = 0$

$f''(0) = -\cos(0) = -1$

$f'''(0) = \sin(0) = 0$

$f^{(4)}(\theta x) = \cos(\theta x)$

より、

$\cos x = 1 + 0 \cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{\cos(\theta x)}{4!}x^4$

$\cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{\cos(\theta x)}{4!}x^4$

となります。

$y = 1 - \frac{x^2}{ア!} + \frac{イ \theta x}{ウ!} x^4$と比較すると、

アには2が入り、

ウには4が入り、

イには$\cos$が入ります。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：$\cos$

ウ：24