$y = \tan x$のマクローリン展開を$n=4$まで行い、 $y = x + \frac{x^3}{ア} + \frac{\sin \theta x (イ + \sin^2 \theta x)}{ウ \cos^5 \theta x} x^4$ の式の空欄（ア、イ、ウ）を埋める問題。

1. 問題の内容

$y = \tan x$のマクローリン展開を$n=4$まで行い、

$y = x + \frac{x^3}{ア} + \frac{\sin \theta x (イ + \sin^2 \theta x)}{ウ \cos^5 \theta x} x^4$

の式の空欄（ア、イ、ウ）を埋める問題。

2. 解き方の手順

$\tan x$のマクローリン展開を求める。

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \dots$

与えられた式と比較すると、$\frac{x^3}{3}$の係数が一致するようにアを決定できる。

また、剰余項が

$\frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!} x^5$

の形になっていることを利用する。

$\tan^{(5)}(x) = 5! \frac{\sin \theta x(2 + \sin^2 \theta x)}{2 \cos^6 \theta x}$

ここでラグランジュの剰余項の公式より、

$\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}$

なので、

$\frac{d^5}{dx^5} \tan x|_{x=\theta x}$

を計算する必要がある。

$\frac{d^5}{dx^5} \tan x = \frac{d^4}{dx^4} (\sec^2 x) = \frac{d^3}{dx^3} (2\sec^2 x \tan x) = \frac{d^2}{dx^2} (4 \sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x) = \frac{d^2}{dx^2}(4 \sec^4 x - 4 \sec^2 x + 2 \sec^4 x) = \frac{d^2}{dx^2} (6 \sec^4 x - 4 \sec^2 x) = \frac{d}{dx}(24 \sec^4 x \tan x - 8\sec^2 x \tan x) = 24 \sec^6 x + 48 \sec^4 x \tan^2 x - 8 \sec^4 x - 16 \sec^2 x \tan^2 x = 16 \sec^6 x + 32 \sec^4 x \tan^2 x - 8 \sec^4 x = 16(1 + \tan^2 x)^3 + 32(1+\tan^2 x)^2\tan^2 x - 8 (1+\tan^2 x)^2 = 16+ 48 \tan^2 x + 48 \tan^4 x + 16 \tan^6 x + 32 \tan^2 x + 64 \tan^4 x + 32 \tan^6 x - 8 -16\tan^2 x - 8 \tan^4 x = 8 + 64 \tan^2 x + 104 \tan^4 x + 48 \tan^6 x$

$\frac{\tan^{(5)}(x)}{5!} x^5 = \frac{8+64 \tan^2(\theta x)+104 \tan^4(\theta x)+48 \tan^6 (\theta x)}{120} x^5$

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{\tan^{(5)}(\theta x)}{5!}x^5$

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{8 + 64 \tan^2 (\theta x) + 104 \tan^4(\theta x)+48 \tan^6(\theta x)}{120}x^5$

$n = 4$までの展開であるため、剰余項は$x^4$の項になる。

与えられた式の$x^4$の係数と比べることで、イとウを決定できる。

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{\sin(\theta x)(2 + \sin^2(\theta x))}{2 \cos^5 (\theta x) } \frac{x^5}{5!} + ...$

与えられた式と見比べると、

$\tan x \approx x + \frac{x^3}{ア} + \frac{\sin(\theta x)(イ + \sin^2(\theta x))}{ウ \cos^5 (\theta x)} x^4$

とあるので、展開は4次までとなっている。したがって$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + R_4$である。

ここで$R_4 = \frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!} x^5 = \frac{\tan^{(5)} \theta x}{120} x^5$となる。

ここで$tan x$をもう一度微分していくと

$f^{(5)}x = \frac{1}{2}\sec^6 x(17+15 \tan^2 x)$

したがって、$\frac{\tan^{(5)} \theta x}{120} x^5$　となるのでイ＝2、ウ＝2となる。

ア = 3、イ = 2、ウ = 2

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 2

ウ: 2