実数 $x$ に対して、$n \le x$ を満たす最大の整数 $n$ を $[x]$ と表す。関数 $f(x)$ を $f(x) = \frac{1}{x} - \left[\frac{1}{x}\right]$ ($x>0$) とする。以下の問題を解く。 (1) $f(\sqrt{2}-1)$ の値を求めよ。 (2) $\left[\frac{1}{x}\right] = 1$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。 (3) $\frac{1}{3} < x < 1$ の範囲で、方程式 $f(x) = x$ の解をすべて求めよ。 (4) $x>0$ の範囲で、方程式 $f(x) = x$ の解をすべて求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、$n \le x$ を満たす最大の整数 $n$ を $[x]$ と表す。関数 $f(x)$ を $f(x) = \frac{1}{x} - \left[\frac{1}{x}\right]$ ($x>0$) とする。以下の問題を解く。

(1) $f(\sqrt{2}-1)$ の値を求めよ。

(2) $\left[\frac{1}{x}\right] = 1$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。

(3) $\frac{1}{3} < x < 1$ の範囲で、方程式 $f(x) = x$ の解をすべて求めよ。

(4) $x>0$ の範囲で、方程式 $f(x) = x$ の解をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(\sqrt{2}-1)$ の値を求める。

$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$\sqrt{2}-1 \approx 0.414$ である。

$\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \sqrt{2}+1 \approx 2.414$ となる。

よって、$\left[\frac{1}{\sqrt{2}-1}\right] = [\sqrt{2}+1] = 2$ である。

$f(\sqrt{2}-1) = \frac{1}{\sqrt{2}-1} - \left[\frac{1}{\sqrt{2}-1}\right] = (\sqrt{2}+1) - 2 = \sqrt{2}-1$

(2) $\left[\frac{1}{x}\right] = 1$ となる $x$ の値の範囲を求める。

$\left[\frac{1}{x}\right] = 1$ より、$1 \le \frac{1}{x} < 2$ である。

$x > 0$ なので、$x$ をかけて、$x \le 1 < 2x$ となる。

$x \le 1$ より、$x < \frac{1}{2} = 0.5$ である。

よって、$0.5 < x \le 1$ である。

(3) $\frac{1}{3} < x < 1$ の範囲で、方程式 $f(x) = x$ の解をすべて求める。

$f(x) = \frac{1}{x} - \left[\frac{1}{x}\right]$ なので、$\frac{1}{3} < x < 1$ より、$1 < \frac{1}{x} < 3$ である。

よって、$\left[\frac{1}{x}\right]$ は 1 または 2 である。

(i) $\left[\frac{1}{x}\right] = 1$ のとき、$f(x) = \frac{1}{x} - 1 = x$ より、$x^2 + x - 1 = 0$ となる。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ である。

$x > 0$ より、$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 + 2.236}{2} \approx 0.618$ である。

$\frac{1}{3} < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} < 1$ であり、$\left[\frac{1}{x}\right] = \left[\frac{2}{-1+\sqrt{5}}\right] = \left[\frac{2(\sqrt{5}+1)}{4}\right] = \left[\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right] = \left[\frac{2.236+1}{2}\right] = \left[\frac{3.236}{2}\right] = [1.618] = 1$ なので、解となる。

(ii) $\left[\frac{1}{x}\right] = 2$ のとき、$f(x) = \frac{1}{x} - 2 = x$ より、$x^2 + 2x - 1 = 0$ となる。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$ である。

$x > 0$ より、$x = -1 + \sqrt{2} \approx -1 + 1.414 = 0.414$ である。

$\frac{1}{3} < -1+\sqrt{2} < 1$ であり、$\left[\frac{1}{x}\right] = \left[\frac{1}{-1+\sqrt{2}}\right] = \left[\frac{-1-\sqrt{2}}{1-2}\right] = [1+\sqrt{2}] = [1+1.414] = [2.414] = 2$ なので、解となる。

(4) $x>0$ の範囲で、方程式 $f(x) = x$ の解をすべて求める。

$f(x) = \frac{1}{x} - \left[\frac{1}{x}\right] = x$ より、$\frac{1}{x} - x = \left[\frac{1}{x}\right]$ である。

$\left[\frac{1}{x}\right]$ は整数なので、$\frac{1}{x} - x$ も整数である。

$\frac{1}{x} - x = n$ とおくと、$\frac{1 - x^2}{x} = n$ より、$x^2 + nx - 1 = 0$ となる。

$x = \frac{-n \pm \sqrt{n^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-n \pm \sqrt{n^2+4}}{2}$

$x>0$ より、$x = \frac{-n + \sqrt{n^2+4}}{2}$

$\left[\frac{1}{x}\right] = n$ より、$n \le \frac{1}{x} < n+1$

$n \le \frac{2}{-n + \sqrt{n^2+4}} < n+1$

$n>0$

問題(3)より、$n=1$ のとき、$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ と $n=2$ のとき、$x = -1 + \sqrt{2}$ が解である。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}-1$

(2) $\frac{1}{2} < x \le 1$

(3) $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, $-1+\sqrt{2}$

(4) $\frac{-n + \sqrt{n^2+4}}{2}$ （ただし、$n$ は正の整数）

$n=1$ のとき、$x = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$n=2$ のとき、$x = -1 + \sqrt{2}$