与えられた関数 $y = \tan x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで行ったとき、以下の式におけるア、イ、ウに当てはまる数字を求める問題です。 $y = x + \frac{x^3}{\boxed{ア}} + \frac{\sin \theta x (\boxed{イ} + \sin^2 \theta x)}{\boxed{ウ} \cos^5 \theta x} x^4 \quad (0 < \theta < 1)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで行ったとき、以下の式におけるア、イ、ウに当てはまる数字を求める問題です。

$y = x + \frac{x^3}{\boxed{ア}} + \frac{\sin \theta x (\boxed{イ} + \sin^2 \theta x)}{\boxed{ウ} \cos^5 \theta x} x^4 \quad (0 < \theta < 1)$

2. 解き方の手順

$\tan x$ のマクローリン展開は以下のようになります。

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + ...$

問題文の式と比較すると、 $x$ の項と $x^3$ の項は一致しています。

つまり、

$x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + ... = x + \frac{x^3}{\boxed{ア}} + \frac{\sin \theta x (\boxed{イ} + \sin^2 \theta x)}{\boxed{ウ} \cos^5 \theta x} x^4$

したがって、ア = 3 であることがわかります。

残りの項は剰余項ですので、$n=4$ のラグランジュの剰余項の公式を利用します。

ラグランジュの剰余項は以下のように表されます。

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}$

この問題の場合、$n=4$ なので、

$R_4(x) = \frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!}x^5$

$f(x) = \tan x$ なので、$f^{(5)}(x)$ を求める必要があります。

$f'(x) = \sec^2 x$

$f''(x) = 2\sec^2 x \tan x$

$f'''(x) = 4\sec^2 x \tan^2 x + 2\sec^4 x$

$f^{(4)}(x) = 8\sec^2 x \tan^3 x + 16\sec^4 x \tan x$

$f^{(5)}(x) = 16\sec^2 x \tan^4 x + 8\sec^4 x(2 \tan x \sec^2 x) + 64 \sec^4 x \tan^2 x + 16 \sec^6 x$

$R_4(x) = \frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!}x^5 = \frac{16\sec^2 (\theta x) \tan^4 (\theta x) + 16\sec^4 (\theta x)\tan(\theta x) + 64 \sec^4(\theta x) \tan^2 (\theta x) + 16 \sec^6(\theta x)}{120}x^5$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \sec x = \frac{1}{\cos x}$ より、

$R_4(x) = \frac{16 \frac{\sin^4 \theta x}{\cos^6 \theta x} + \frac{16\sin^2 \theta x}{\cos^6 \theta x} + 64\frac{\sin^2 \theta x}{\cos^6 \theta x} + \frac{16}{\cos^6 \theta x}}{120}x^5 = \frac{\frac{16\sin^4 \theta x + 80\sin^2 \theta x + 16}{\cos^6 \theta x}}{120}x^5$

$= \frac{16(\sin^4 \theta x + 5 \sin^2 \theta x + 1)}{120\cos^6 \theta x}x^5= \frac{2(\sin^4 \theta x + 5 \sin^2 \theta x + 1)}{15\cos^6 \theta x}x^5$

よって、$\frac{\sin \theta x (\boxed{イ} + \sin^2 \theta x)}{\boxed{ウ} \cos^5 \theta x} x^4 = \frac{2(\sin^2 \theta x+ 5\sin^2 \theta x+1)}{15 \cos^6(\theta x)} x^5 = \frac{2(\sin^2 \theta x + 5 ) \sin \theta x}{15 \cos^6(\theta x)} x^5 / (\sin \theta x)$

イ=5, ウ=15です。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 5

ウ: 15