$y = \cos x$ を $n = 4$ としてマクローリンの定理を適用し、 $y = 1 - \frac{x^2}{\text{ア}!} + \frac{\text{イ} \theta x}{\text{ウ}!} x^4 \quad (0 < \theta < 1)$ の空欄「ア」、「イ」、「ウ」を埋める問題です。

1. 問題の内容

$y = \cos x$ を $n = 4$ としてマクローリンの定理を適用し、

$y = 1 - \frac{x^2}{\text{ア}!} + \frac{\text{イ} \theta x}{\text{ウ}!} x^4 \quad (0 < \theta < 1)$

の空欄「ア」、「イ」、「ウ」を埋める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリンの定理は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。剰余項をラグランジュの剰余項とすると、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!} x^5 \quad (0 < \theta < 1)$

となります。ここで、$f(x) = \cos x$ なので、各階微分を計算します。

$f(x) = \cos x \Rightarrow f(0) = 1$

$f'(x) = -\sin x \Rightarrow f'(0) = 0$

$f''(x) = -\cos x \Rightarrow f''(0) = -1$

$f'''(x) = \sin x \Rightarrow f'''(0) = 0$

$f''''(x) = \cos x \Rightarrow f''''(0) = 1$

$f^{(5)}(x) = -\sin x$

したがって、

$\cos x = 1 + 0x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{-\sin(\theta x)}{5!}x^5$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{\sin(\theta x)}{5!}x^5$

問題文の形に合わせるために、剰余項を4次の項で表すと、

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{-\sin(\theta x)}{4!}x^4 \quad (0 < \theta < 1)$

となります。

したがって、「ア」は2、「イ」は-sinθ、「ウ」は4となります。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: -sinθ

ウ: 4