関数 $y = \cos x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求め、表示された式 $$ y = 1 - \frac{x^2}{\boxed{ア}!} + \frac{\boxed{イ}\theta x}{\boxed{ウ}!} x^4 \qquad (0 < \theta < 1) $$ の空欄 $\boxed{ア}$, $\boxed{イ}$, $\boxed{ウ}$ に適切な数字または記号を答える問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos x$ のマクローリン展開を $n=4$ まで求め、表示された式

$$y = 1 - \frac{x^2}{\boxed{ア}!} + \frac{\boxed{イ}\theta x}{\boxed{ウ}!} x^4 \qquad (0 < \theta < 1)$$

の空欄 $\boxed{ア}$, $\boxed{イ}$, $\boxed{ウ}$ に適切な数字または記号を答える問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ のマクローリン展開は、

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \cdots$$

で与えられます。

$f(x) = \cos x$ に対して、

\begin{align*} f(x) &= \cos x & f(0) &= 1 \\ f'(x) &= -\sin x & f'(0) &= 0 \\ f''(x) &= -\cos x & f''(0) &= -1 \\ f'''(x) &= \sin x & f'''(0) &= 0 \\ f^{(4)}(x) &= \cos x & f^{(4)}(0) &= 1 \\ f^{(5)}(x) &= -\sin x \end{align*}

したがって、

$$\cos x = 1 + 0\cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \cdots = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$

剰余項（ラグランジュの剰余項）を考えると、

$$R_4(x) = \frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!}x^5 = \frac{-\sin (\theta x)}{5!}x^5$$

ですが、問題文にある式を見ると、$x^4$ の項であることから、 $f^{(4)}$のテイラーの定理による剰余項（ラグランジュの剰余項）を利用した形になっていると考えられます。

剰余項を $R_3(x) = \frac{f^{(4)}(\theta x)}{4!} x^4$ とすると、 $f^{(4)}(x) = \cos x$ なので、

$$R_3(x) = \frac{\cos(\theta x)}{4!}x^4$$

$\cos(\theta x)$ を $\theta x$ で近似すると、

$\cos(\theta x) \approx 1$.

問題文の式と照らし合わせると、$y = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{\boxed{イ}\theta x}{\boxed{ウ}!} x^4$ なので、$\frac{\cos(\theta x)}{4!} x^4$を近似すると$\frac{\boxed{イ}\theta x}{\boxed{ウ}!} x^4$となるように考えます。

ここで剰余項のラグランジュの定理より、

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{\cos(\theta x)}{4!}x^4$$

したがって、$\boxed{ア} = 2$, $\boxed{ウ} = 4$, $\boxed{イ} = \cos$となります。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: cos

ウ: 4